Uber ein
elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre
This famous paper by
George Cantor is the first published proof of the so-called diagonal
argument, which first appeared in the
journal of the German Mathematical Union (Deutsche
Mathematiker-Vereinigung) (Bd. I, S. 75-78 (1890-1)). The society was founded in 1890 by Cantor
with other mathematicians. Cantor was
the first president of the society.
The proof is remarkable
for its simplicity. However, it is not
formalised, and depends on the informal notion of a set or manifold. A formal set-theoretical proof was later
given by Ernst Zermelo in 1908.
The text is the original
German, with my English translation below.
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In dem Aufsatze,
betitelt: Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen
Zahlen (Journ. Math. Bd. 77, S. 258), findet sich wohl zum ersten Male ein
Beweis für den Satz, dass es unendliche Mannigfaltigkeiten gibt, die sich
nicht gegenseitig eindeutig auf die Gesamtheit aller endlichen ganzen Zahlen
1, 2, 3, …, v, … beziehen lassen,
oder, wie ich mich auszudrücken pflege, die nicht die Mächtigkeit der
Zahlenreihe 1, 2, 3, …, v, …
haben. Aus dem in § 2 Bewiesenen
folgt nämlich ohne weiteres, dass beispielsweise die Gesamtheit aller reellen
Zahlen eines beliebigen Intervalles (a ... b) sich nicht in der Reihenform w1 w2, …, wv, … darstellen lasst. |
In the paper entitled
"On a property of a set [Inbegriff] of
all real algebraic numbers" (Journ. Math. Bd. 77, S. 258), there
appeared, probably for the first time, a proof of the proposition that there is an infinite manifold, which
cannot be put into a one-one correlation with the totality [Gesamtheit] of all finite whole
numbers 1, 2, 3, …, v, …, or, as I
am used to saying, which do not have the power (Mächtigkeit) if the number series 1, 2, 3, …, v, ….
From the proposition proved in § 2 there follows another, that
e.g. the totality (Gesamtheit) of
all real numbers of an arbitrary interval (a ... b) cannot be arranged in the
series w1
w2, …, wv, … |
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Es lässt sich aber von
jenem Satze ein viel einfacherer Beweis liefern, der unabhängig von der
Betrachtung der Irrationalzahlen ist. |
However, there is a
proof of this proposition that is much simpler, and which does not depend on
considering the irrational numbers. |
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Sind nämlich m und n irgend zwei einander ausschliessende Charaktere, so betrachten
wir einen Inbegriff M von elementen E = (x1,
x2, … , xv, …) welche von unendliche
vielen Koordinaten x1, x2, … , xv, …
abhängen, wo jede dieser Koordinaten entweder m oder w ist. M
sei die Gesamtheit aller Elemente E. |
Namely, let m and n be two different characters, and consider a set [Inbegriff] M of elements E = (x1,
x2, … , xv, …) which depend on
infinitely many coordinates x1, x2, … , xv, …,
and where each of the coordinates is either m or w. Let M
be the totality [Gesamtheit] of all
elements E. |
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Zu den Elementen von M gehören beispielsweise die folgenden
drei: EI = (m, m, m, m, … ), EII
= (w, w, w, w, … ), EIII
= (m, w, m, w, … ). Ich behaupte nun, dass
eine solche Mannigfaltigkeit M
nicht die Mächtigkeit der Reihe 1, 2, 3, …, v, …hat. Dies geht aus folgendem
Satze hervor: "Ist E1,
E2, …, Ev, … irgendeine einfach unendliche Reihe von
Elementen der Mannigfaltigkeit M, so
gibt es stets ein Element E0 von M, welches mit keinem Ev übereinstimmt." |
To the elements of M belong e.g. the following three: EI = (m, m, m, m, … ), EII
= (w, w, w, w, … ), EIII
= (m, w, m, w, … ). I maintain now that such
a manifold [Mannigfaltigkeit] M does not have the power of the
series 1, 2, 3, …, v, …. This follows from the
following proposition: "If E1,
E2, …, Ev, … is any simply infinite [einfach unendliche] series of elements
of the manifold M, then there
always exists an element E0 of M, which cannot be connected with any element Ev." |
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Zem Beweise sei E1
= (a1.1, a1.2, … , a1,v, …) E2
= (a2.1, a2.2, … , a2,v, …) Eu
= (au.1, au.2, … , au,v, …) …………………………. Hier sind die au,v
in bestimmter Weise m oder w.
Es werde nun eine Reihe b1, b2, … bv,…,
so definiert, dass bv auch nur gleich m oder w und von av,v
verschieden sei. Ist
also av,v = m, so ist bv = w. |
For proof, let there be E1
= (a1.1, a1.2, … , a1,v, …) E2
= (a2.1, a2.2, … , a2,v, …) Eu
= (au.1, au.2, … , au,v, …) …………………………. where the characters au,v
are either m or w.
Then there is a series b1, b2, … bv,…,
defined so that bv is also equal to m or w but is different from av,v. Thus,
if av,v = m, then bv = w. |
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Betrachten wir alsdann
das Element E0
= (b1, b2, b3, …) von M, so sieht man ohne weiteres, dass die Gleichung E0
= Eu für keinen positiven
ganzzahligen Wert von u erfüllt sein kann, da sonst für das betreffende u und
für alle ganzzahligen Werte von v. bv = au,v also auch im besondern bu
= au,u wäre, was durch die
Definition von bv ausgeschossen ist. |
Then consider the
element E0
= (b1, b2, b3, …) of M, then one sees straight away, that the equation E0
= Eu cannot be satisfied by
any positive integer u, otherwise for that u and for all values of v. bv
= au,v and so we would in
particular have bu
= au,u which through the
definition of bv is
impossible. |
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Aus diesem Satze folgt
unmittelbar, dass die Gesamtheit aller Elemente von M sich nicht in die Reihenform: E1, E2, …,
Ev, … bringen lässt, da wir sonst vor dem Widerspruch stehen
würden, dass ein Ding E0 sowohl Element von M, wie auch nicht Element von M
wäre. |
From this proposition it
follows immediately that the totality of all elements of M cannot be put into the sequence [Reihenform]: E1, E2, …, Ev, …
otherwise we would have the contradiction, that a thing [Ding] E0 would be both an element of M, but also not an element of M. |
[Second half omitted. Cantor proves the more general theorem that
the power of well-defined manifolds have no maximum].