Authors/Heytesbury/Sophismata/Sophisma 31

Latin	English
[Trigesimum primum sophisma]
[Necesse est aliquid condensari si aliquid rarefiat]
[155va] Necesse est aliquid condensari si aliquid rarefiat.
Quod arguitur sic: non potest esse quin aliquid condensetur si aliquid rarefiat; ergo sophisma. Assumptum arguitur sic: quia si potest esse quod nihil condensetur quamvis aliquid rarefiat, ponatur ergo quod aliquid rarefiat quamvis nihil condensetur, et sit illud quod rarefit A. Quo posito, arguitur sic: si A rarefit; ergo A maioratur vel aliqua eius pars maioratur; ergo A vel aliqua pars A occupabit maiorem locum quam prius, et nihil condensatur; ergo nihil quod est A et prius fuit occupat maiorem quam illud prius occupavit; ergo totus mundus est maior quam prius fuit totus mundus, vel saltem maior quam immediate ante hoc fuit totus mundus, quod est impossibile.
Consequentia patet: quia si A sit maius quam immediate ante instans quod est praesens fuit, et nihil est minus quam ipsum immediate ante praesens instans fuit; ergo breviter aggregatum ex omnibus magnis est maius quam ipsum immediate ante instans quod est praesens fuit, quia ipsum A est maius quam si A foret ita magnum praecise sicut ipsum fuit in principio, et etiam si quodlibet aliud corpus modo foret ita magnum sicut ipsum fuit ante rarefactionem A et A ita magnum praecise sicut fuit prius, tunc aggregatum ex omnibus esset aeque magnum sicut ipsum tunc fuit, sed modo est A maius quam ipsum tunc fuit, et quodlibet aliud corpus aeque magnum praecise sicut ipsum prius fuit; ergo et cetera. Patet igitur quod non posset esse quod aliquid rarefiat nisi aliquid condensetur, et si sic, necesse est aliquid condensari si aliquid [155vb] rarefiat.
Similiter: aliqua propositio necessaria significat praecise quod aliquid condensetur si aliquid rarefiat, et quaelibet propositio necessaria significat praecise sicut necesse est esse; ergo necesse est aliquid condensari si aliquid rarefiat.
Assumptum arguitur: quia haec conditionalis est necessaria ‘aliquid condensatur si aliquid rarefiat’, quia, sicut prius argutum est, illae non stant simul quod nihil condensetur et tamen aliquid rarefiat. Et arguitur tunc sic: ista conditionalis est necessaria, et illa praecise significat quod aliquid condensetur si aliquid rarefiat; ergo necesse est quod aliquid condensetur si aliquid rarefiat, et si sic; ergo necesse est aliquid condensari si aliquid rarefiat, quod erat probandum.
Ad oppositum arguitur: necesse est aliquid condensari si aliquid rarefiat; ergo si aliquid rarefiat, necesse est aliquid condensari. Consequens falsum: quia posito gratia exempli quod posset esse ita quod nihil condensetur nec rarefiat, tunc arguitur sic: necesse est aliquid condensari propter rarefactionem Socratis si Socrates rarefit. Ponatur quod Socrates sit, et quod possit rarefieri et non rarefieri indifferenter et condensari, et tunc arguitur consimiliter sicut in sophismate: necesse est aliquid condensari propter rarefactionem Socratis si Socrates rarefiat; ergo si Socrates rarefiat, necesse est aliquid condensari propter rarefactionem Socratis. Consequens est falsum: quia, quamvis Socrates condensetur sive rarefiat, non tamen est necesse Socrates condensari vel rarefieri; ergo non est necesse aliquid condensari propter rarefactionem Socratis.
Similiter: qua ratione conceditur illud sophisma, eadem ratione est etiam concedendum quod necesse est Socratem movere si ipse currat, et etiam impossibile est Socratem currere si ipse sedeat, et impossibile est te sedere si tu es homo, et impossibile est te male respondere si tu es sophista, et sic de talibus multis quae sunt conditionales impossibiles. Sicut enim conceditur quod necesse est aliquid condensari si aliquid rarefiat —quia talis conditionalis est necessaria
‘aliquid condensatur si aliquid rarefiat’—, sic consimiliter respondetur quod impossibile est te currere si tu stas: quia notum est quod haec conditionalis est impossibilis ‘tu curris si tu stas’, significat enim sicut non potest esse. Et similiter arguitur de quacumque conditionali impossibili.
Et si conceditur, sicut conceditur a multis, quod impossibile est te stare si tu curris; contra: quia sequitur ergo [quod] si tu curris impossibile est te stare, consequens impossibile. Sed forte negatur ista consequentia, sicut tunc solet ista negari, arguitur tamen illa consequentia sic: quia sicut non valet haec consequentia, sic nec ista ‘aliquid condensatur si aliquid rarefiat; ergo si aliquid rarefiat aliquid condensatur’.
Similiter arguitur iuxta hanc responsionem quod impossibile est te stare si tu potes stare: quia notum est quod haec conditionalis est impossibilis ‘tu stas si tu potes stare’; igitur iuxta responsionem datam impossibile est te stare si tu potes stare.
Et arguitur quod non: quia possibile est te stare si tu potes stare. Sequitur enim ‘si tu potes stare, possibile est te stare; ergo possibile est te stare si tu potes stare; ergo non est impossibile te stare si tu potes stare’.
Ad sophisma, cum proponitur “necesse est aliquid condensari si aliquid rarefiat”, dicitur concedendo sophisma: quia necesse est aliquid condensari et necesse est aliquid rarefieri, quia cum necesse est quod corpora supercaelestia continue agant in corpora inferiora, necesse est quod continue rarefiat aliquid et quod continue condensetur aliquid. Sed iste intellectus non vadit ad propositum sophismatis; ideo cum dicitur quod necesse est aliquid condensati propter motum Socratis si Socrates rarefiat, huic dicitur negando illam conditionalem. Et ad argumentum, quando arguitur quod ista sit vera quia non potest esse ita quod nihil condensetur propter motum Socratis si Socrates rarefiat; igitur et cetera, dicitur negando consequentiam, sed conceditur quod necesse est si Socrates rarefiat quod aliquid condensetur propter motum Socratis.
Et consimiliter dicitur ad aliam, quando arguitur quod aliqua propositio necessaria significat quod aliquid condensatur propter motum [156ra] Socratis si Socrates rarefiat, et ista propositio significat sicut necesse est esse; ergo necesse est quod aliquid condensetur propter motum Socratis si Socrates rarefiat, dicitur quod illa consequentia non valet, sed sequitur quod necesse est ita esse quod si Socrates rarefiat quod aliquid condensetur. Absit enim quod concedatur ab aliquo intelligente seipsum quod impossibile est hominem stare si homo potest stare, et quod impossibile est tibi non concludi si tu es sophista, et sic de talibus. Et non est dubium quod concesso sophismate propter causam dictam, oportet concedere quamlibet talem consequenter respondendo; et ideo sicut est quodlibet illorum negandum, sic et sophisma. Sed forte arguitur ad sophisma sic: aliquid rarefiet per totam istam horam, et tamen ipsum numquam erit maius quam ipsum fuit in principio eiusdem horae, nec quam ipsum modo est; ergo et cetera.
Assumptum arguitur: quia ponatur quod duae quartae rarefiant per totam istam horam, et quod continue proportionaliter sicut illae duae quartae maiorabuntur quod aliae duae quartae exteriores continue diminuantur aeque velociter sicut illae duae maiorabuntur. Quo posito, sequitur conclusio proposita.
Quod arguitur sic: Socrates in casu illo continue rarefiet per totam istam horam, quia Socrates continue per totam istam horam erit rarior quam prius, et in quolibet instanti intrinseco istius horae erit ita quod Socrates est rarior iam in praesenti instanti quam ille immediate ante praesens instans fuit; ergo continue erit ita per totam istam horam quod Socrates rarefit; et sequitur ex casu quod numquam erit maior quam fuit in principio propter illam rarefactionem, et sic sequitur conclusio.
Ideo forte dicitur, sicut est dicendum, in principio concedendo conclusionem, scilicet quod aliquid continue rarefiet per totam istam horam, et tamen ipsum numquam erit maius quam ipsum iam est, sed continue manebit ita magnum sicut prius, et etiam in casu similiter conceditur quod aliquid continue rarefiet per totam aliquam horam, et tamen ipsum continue minorabitur per totam eandem horam, sicut est satis possibile per abscisionem illius rarefacti, sed tamen quod aliquid continue rarefiet per aliquam horam vel per tempus aliquod, cuius nulla pars corrumpetur in eadem hora, et ipsum non maiorabitur in aliquo instanti eiusdem horae, est impossibile.
Arguitur tamen quod sic: quia ponatur quod A et B sint una linea cuius unum extremum sit A et aliud B, et ponatur quod signentur partes proportionales suarum medietatum ita quod media quarta illius sit prima pars proportionalis A medietatis, et deinde sic progrediatur usque ad A punctum ita quod versus A sint partes proportionales minores istius medietatis, consimiliter minorentur partes proportionales B medietatis versus B, ponitur tunc quod prima pars proportionalis A medietatis incipiat rarefieri versus A punctum per primam partem proportionalem istius horae condensando secundam partem proportionalem eiusdem medietatis quousque illa erit in duplo minor quam ista modo est, quiescente tertia parte proportionali continue per idem tempus, et deinde quiescat prima et rarefiat secunda condensando tertiam quousque illa erit in duplo minor quam illa modo est, et hoc per secundam partem proportionalem istius horae et quiescente quarta parte proportionali continue per illud tempus, et deinde secunda parte proportionali quiescente rarefiat tertia condensando quartam quousque ista sit in duplo minor quam ista quarta est modo, et cetera sicut prius, et sic de singulis partibus proportionalibus in singulis partibus istius horae, et consimiliter per omnia sicut supponitur iam de A medietate ita supponatur de medietate B. Quibus suppositis arguitur sic: A B linea in fine horae vel erit tanta praecise sicut in principio vel maior.
Si maior, contra arguitur sic: A B linea continue manebit [156rb] recta quiescentibus eius duobus extremis et eius medio; ergo continue erit A B linea tanta sicut in principio. Consequentia patet, et assumptum intuenti casum. Quiescent enim A et B puncta: quia illud corpus non movebitur nisi motu rarefactionis et condensationis, sed numquam ante finem deveniet rarefactio vel condensatio ad A punctum vel ad B punctum; ergo et cetera.
Similiter: punctus medius inter A et B continue quiescet, quia A B linea continue manebit recta, ut suppono. Et arguitur sic: una quarta media illius A B lineae movebitur per illud tempus secundum omnia eius puncta intrinseca versus unam differentiam positionis, et alia media quarta versus oppositam differentiam secundum omnia sua puncta intrinseca; ergo continue per illud tempus quiescet punctus medius inter illas quartas: quia si moveretur, in casu illo sequeretur quod ille moveretur continue per totum illud tempus infinita tarditate, et quod moveretur et ad nullam differentiam positionis moveretur in aliquo instanti illius temporis, quia nulla foret ratio quare magis moveretur ad unam differentiam positionis quam ad aliam, et ad quamcumque differentiam positionis dicitur ipsum moveri, sequitur quod ad illam differentiam positionis non movebitur idem punctus, quia tunc sequeretur quod ipsum insequeretur punctum aliquod intrinsecum alterius quartae motae ad differentiam oppositam, quod esset contra casum, cum ponitur quod ista quarta debeat moveri secundo omnia sua puncta intrinseca versus oppositam differentiam positionis; sequitur igitur quod ille punctus medius continue quiescet, et etiam duo puncta extrema; ergo continue erit aequalis distantia inter ipsum medium punctum et A et ipsum medium et B; ergo tota A B linea continue erit aequalis sicut in principio.
Ideo si dicitur, sicut est dicendum in casu isto, quod A B linea continue erit aequalis sicut ista est in principio, contra arguitur sic: A B linea rarefiet per totam hanc horam; ergo A B linea erit aliquando maior quam prius fuit. Sequitur enim ‘A et B rarefit; ergo A et B maioratur, sed per totam istam horam A B rarefiet; ergo per istam horam ipsa maiorabitur’.
Similiter: quaelibet pars proportionalis A medietatis, etiam B medietatis, maiorabitur, et nulla tantum minorabitur sicut aliqua maiorabitur; ergo totum continue erit maius quam in principio.
Similiter: rarefacta prima parte proportionali A medietatis et secunda, erunt illae duae maiores quam illae fuerunt in principio, et nulla sequens illas nec aliquae sequentes erunt tantum minoratae sicut illae duae, tunc erunt maioratae ultra illud quod fuit in principio; ergo totum tunc compositum ex illis et ex omnibus sequentibus erit maius quam in principio. Sequitur enim si tota pars rarefacta et etiam condensata de B sit continue maior quam prius fuit et tota pars non rarefacta continue manet aequalis; ergo tota linea continue maiorabitur, sed continue erit ita quod postquam duae primae partes proportionales sint rarefactae quod plus sunt illae partes rarefactae quam aliqua vel aliquae sequentes sunt condensatae; ergo et cetera.
Similiter: si quaelibet pars continue rarefienda tantum condensaret ipsam proximam praecedentem sicut ipsa condensat per suam rarefactionem proximam partem proportionalem subsequentem, tunc continue quandocumque aliqua talis foret continue rarefacta, foret tota pars composita ex ista et parte proportionali ipsam proxime sequente tanta sicut eadem tota pars in principio, sed per casum quaelibet talis solummodo condensat proportionalem sequentem et nullam praecedentem; ergo iam erit tota pars composita ex ista parte tunc sic rarefacta et ex parte proportionali prius rarefacta maior quam ista prius fuit in principio, et continue sic maiorabitur tota pars rarefacta [156va] usque ad finem; ergo in fine erit tota linea maior quam in principio.
Similiter: quaelibet pars istius lineae rarefacta erit maior in fine quam in principio, et nulla erit pars istius quin illa tunc erit rarefacta; ergo tunc erit quaelibet pars maior quam in principio. Praeterea: in fine erit aliqua pars maior quam illa fuit in principio, nulla erit in fine quin ipsa erit maior; ergo tunc erit quaelibet pars maior.
Assumptum arguitur. Maior enim est manifesta, et minor probatur: quia si in fine non erit quaelibet pars maior quam in principio; ergo cum tunc sit aliqua pars maior et non quaelibet, sequitur quod tunc erit dare maximam quae tunc erit maior quam ipsa fuit in principio vel minimam quae tunc non erit maior quam illa fuit in principio.
Sed arguitur quod non: quia si detur maxima quae tunc erit maior, notum est quod illud claudit opposita. Sequitur enim ‘illa est maior quam fuit in principio; igitur in aliqua proportione est illa maior quam illa fuit in principio; ergo aliqua est maior quae adhuc est maior quam illa fuit in principio’.
Signato enim aliquo puncto qui insensibiliter distat a puncto terminante illam partem, tunc sequitur quod ille punctus plus distat a medio puncto totius AB lineae quam in principio distabat idem punctus; ergo tota pars intercepta est maior quam illa fuit in principio, et sic universaliter argui potest de quocumque puncto terminante aliquam partem citra A; sequitur ergo quod nulla erit maxima pars in fine quae erit maior quam illa fuit in principio, nec aliqua erit minima quae non erit maior quam illa fuit in principio: quia si aliqua fuerit talis, signetur illa, et quaero an illa terminetur citra A vel ad A.
Si citra A, notum est, sicut iam est argutum, quod illa erit maior quam illa fuit in principio: quia punctus eius ultimus versus A plus distabit a puncto medio totius AB lineae quam in principio; ergo illa est maior. Ideo si dicatur quod illa est minima quae non terminatur ad A, tunc contra: illa non terminatur ad punctum medium totius AB lineae; ergo illa terminatur ad aliquem punctum intermedium inter A et inter medium punctum totius AB lineae, tunc arguitur sic: quaelibet pars A medietatis incipiens ab A puncto est minor quam illa fuit in principio, quia nulla tunc erit talis quae non est minor quam illa fuit in principio; ergo nulla est minima quae non erit maior quam illa fuit in principio.
Consequentia patet, et assumptum arguitur: quia quilibet punctus terminans aliquam partem talem versus punctum medium per aliquod tempus recessit a puncto medio et movebatur versus A punctum ipso A puncto continue quiescente; ergo quacumque tali parte data illa erit minor in fine illius horae quam illa fuit in principio, et si sic; igitur nulla erit minima in fine
quae tunc non erit maior quam illa fuit in principio; ergo quaelibet tunc erit maior, sicut prius argutum est.
Similiter: quaelibet pars proportionalis A medietatis erit maior in fine quam eadem fuit in principio; ergo tota A medietas erit maior in fine quam fuit in principio.
Assumptum arguitur: quia quaelibet pars incipit maiorari ante finem postquam illa non diminuetur; ergo et cetera.
Ad haec respondetur, primo ad primum, quando arguitur quod haec linea rarefiet per totam istam horam, dicitur quod non: quia, ut sic loquimur, illa linea numquam erit longior quam illa est iam nec umquam erit ita in casu isto quod illa incipit esse maior quam illa est iam; ergo illa numquam rarefiet. Sicut enim ponitur quod linea debet rarefieri, ita potest dici quod linea erit rarior vel densior, illud tamen est impossibile de virtute sermonis, sic etiam quod linea rarefiet est impossibile de virtute sermonis,[156vb] sed tamen sicut admittitur unus modus loquendi ita potest uterque; dicitur ergo quod sequitur ‘si hoc numquam erit rarius quam ipsum iam est, ipsum numquam rarefiet, quocumque dato, nec umquam erit ita quod ipsum immediate post instans praesens erit rarius quam ipsum iam est, sed in casu posito ita est de illa linea; ergo et cetera’.
Et ad argumentum, quando arguitur quod sic, quia continue per totam istam horam rarefiet aliqua pars lineae; ergo continue rarefiet tota linea illa, categorematice loquendo de ly ‘tota’, consequentia arguitur sic: quia sequitur ‘pars illius lineae movetur; ergo illa linea movetur’; ergo consimiliter sequitur ‘pars istius lineae rarefit; ergo ista linea rarefit’, quia per primam consequentiam si pars istius movetur; ergo tunc tota illa movetur, si tunc tota illa movetur et nullo alio motu quam rarefactionis vel condensationis, ut suppono, quia totum non movetur alio motu quam moveatur aliqua pars illius; ergo si aliqua pars rarefit, tota linea movetur motu rarefactionis, et si sic; ergo tota rarefit; ergo a primo sequitur ‘pars illius lineae rarefit; ergo tota linea rarefit’.
Huic dicitur ut prius quod non valet illa consequentia ‘pars istius lineae rarefit; ergo tota linea rarefit’: quia sic contingeret arguere quod illa linea simul continue rarefieret et condensaretur, quod est impossibile; ergo et cetera.
Et ad argumentum, quando arguitur sic “pars illius lineae movetur; ergo tota illa linea movetur”, huic dicitur quod accipiendo istum terminum ‘tota’ categorematice bene valet consequentia.
Et quando arguitur ulterius “si pars istius lineae rarefit; ergo tota linea rarefit”, dicitur negando consequentiam qualitercumque accipiatur iste terminus ‘tota’.
Et quando arguitur quod sic, quia si aliqua pars istius rarefit; ergo ista linea movetur, et illa tunc non movetur nisi motu rarefactionis vel condensationis, ut in casu ponitur; ergo in casu posito illa movetur motu rarefactionis vel condensationis, huic dicitur quod illa linea movetur tam motu rarefactionis quam condensationis in casu illo, illa tamen non rarefit nec condensatur; unde non sequitur ‘ista linea movetur motu rarefactionis; ergo rarefit’ nec sequitur ‘movetur motu condensationis; ergo condensatur’.
Movetur enim illa motu rarefactionis suae partis et etiam motu condensationis suae partis; unde si valeret universaliter ‘hoc movetur motu rarefactionis; ergo hoc rarefit’, sequitur quod punctus possit rarefieri: quia notum est posito quod aliquod corpus rarefiat tunc movetur aliquis punctus motu rarefactionis, quia punctus si moveatur movetur motu totius cuius est punctus; patet igitur quod non valet huiusmodi consequentia ‘hoc movetur motu rarefactionis; ergo hoc rarefit’, et ita negatur breviter quod illa linea rarefiet in aliqua parte istius horae.
Ad secundam formam, quando arguitur quod ista linea erit maior in fine quam in principio, quia quaelibet pars proportionalis tam medietatis A quam medietatis B maiorabitur, et nulla tantum minorabitur, nec omnes tantum minorabuntur sicut aliqua maiorabitur; ergo in fine erit totum maius quam in principio, dicitur negando consequentiam. Et causa est quia licet neque
aliqua neque omnes tantum minorabuntur quod iam aliqua maiorabitur, tamen omnes illae quarum quaelibet sequitur primam minorabuntur tantum quantum aliqua maiorabitur, quia illae tantum praecise cum omnibus illis minorabuntur sicut prima maiorabitur, quia in eadem proportione in qua proportione prima pars proportionalis erit maior in fine vel in aliquo instanti intrinseco istius horae, in eadem proportione erit totum residuum ab illa parte quae iam est prima pars proportionalis minus quam in principio fuit in eodem instanti, quocumque demonstrato.
Sed forte arguitur contra hanc responsionem quod nulla pars proportionalis tantum minorabitur sicut prima maiorabitur; ergo [157ra] nec omnes partes proportionales sequentes primam tantum minorabuntur quantum prima maiorabitur: quia illa plus maiorabitur quam minorabitur aliqua illarum.
Huic dicitur quod sic; ideo negatur consequentia iam praemissa. Ad tertiam formam, quando arguitur quod tota AB linea erit maior in fine quam in principio, quia continue erit ita quod tota pars AB lineae composita ex maxima parte secundum se totam rarefacta et maxima parte secundum se totam condensata est maior quam prius fuit, et tota residua pars erit aequalis sicut illa praefuit; ergo tota linea continue maiorabitur, huic dicitur concedendo consequentiam et negando antecedens.
Dicitur enim quod continue erit ita quod tota pars AB lineae composita ex parte rarefacta et ex parte condensata erit tanta praecise sicut prius fuit eadem pars, saltem sicut ipsa fuit in principio istius horae. Et hoc satis patet inductive: quia notum est in casu isto quod cum tota prima pars proportionalis erit rarefacta, ut puta in primo instanti secundae partis proportionalis istius horae, et tunc erit tota pars composita ex illa quae modo est prima et illa quae modo est secunda tanta praecise sicut iam est. Quanto enim prima pars proportionalis maiorabitur tanto minorabitur illa quae est secunda pars proportionalis: quia prima continue condensat secundam sicut ipsamet rarefit per casum; ergo et cetera.
Ad quartam formam, quando arguitur iterum ad conclusionem, scilicet quod AB linea erit maior in fine quam in principio, quia si quaelibet pars rarefienda post primam partem proportionalem tantum praecise condensaret partem praecedentem ipsam quantum in isto casu condensat eadem pars partem ipsam sequentem, tunc continue maneret tota AB linea aequalis sicut in principio, sed iam in casu isto nulla pars condensabit aliam prius rarefactam, scilicet partem talem quae prius rarefiet quam ipsa quaecumque demonstrata; ergo iam sequitur quod AB linea erit maior quam fuit in principio, huic dicitur breviter negando consequentiam et etiam antecedens.
Unde non sequitur ‘secunda pars proportionalis tantum diminuet de quantitate primae partis praecedentis ipsam condensando quantum ipsa eadem secunda diminuet de tertia condensando tertiam; ergo secunda tantum condensabit primam quantum ipsa condensabit tertiam’.
Si enim aliqua duo in principio sunt aeque rara praecise quorum unum sit maius et aliud minus, quamvis tunc aequaliter diminuantur illa duo vel condensentur, tamen non propter hoc sequitur quod tantum condensetur maius sicut et minus: quia per aequalem diminutionem in quantitate multo plus condensabitur minus illud quam condensetur illud maius; ideo negatur illa conditionalis prius facta, scilicet quod si quaelibet pars rarefienda posterius tantum condensaret partem ipsam praecedentem quantum in casu posito illa eadem condensabit partem illam sequentem quod tunc maneret tota AB linea aequalis sicut in principio.
Staret enim cum hac conditionali quod tota AB linea foret multo maior quam in principio, etiam staret quod illa foret multo minor; et ideo non valet illa consequentia. Ad aliam formam, quando arguitur adhuc ad primam conclusionem quod quaelibet pars proportionalis in fine erit rarefacta; ergo quaelibet tunc erit maior quam illa est modo in principio, huic dicitur negando consequentiam. Et causa est quia licet pars quaelibet tunc erit
rarefacta, tunc etiam quaelibet alia a prima erit condensata et plus condensata quam rarefacta; ideo non valet consequentia.
Ad aliam formam, quando arguitur quod tunc erit quaelibet pars A maior quam fuit in principio, dicitur quod non. Immo, tunc quaelibet quae terminatur ad A punctum quae est pars illius A medietatis erit minor quam fuit in principio.
Et quando arguitur quod non, quia tunc [157rb] cum aliqua esset maior quam in principio et aliqua minor quam in principio, sequitur quod foret dare maximam quae erit tunc maior quam in principio vel minimam quae tunc non erit maior quam in principio, huic dicitur negando: quia, sicut satis probat argumentum ibidem, nec erit dare maximam quae erit tunc maiorata nec minimam quae non; immo, quaelibet pars illius medietatis incipiens a puncto medio erit maior quam in principio, et quaelibet incipiens ab A puncto et terminata versus medium erit minor quam in principio, sicut expresse probat argumentum ibidem; ideo et cetera. Ad ultimam formam, quando arguitur “quaelibet pars proportionalis incipiet rarefieri; ergo quaelibet erit maior quam iam est”, negatur consequentia.
Unde non sequitur ‘secunda pars proportionalis incipiet maiorari; ergo illa incipiet esse maior quam iam est’, sed sequitur quod ipsa incipiet esse maior quam ipsa erit in instanti illo quo incipiet maiorari, vel saltem quod immediate post illud instans ita erit. Unde, sicut alias diffuse est declaratum, non sequitur ‘aliquando erit ita quod illa incipit esse maior quam iam est; ergo aliquando incipiet esse maior quam iam est’; ergo et cetera.
Aliter arguitur ad sophisma sic: aliquid per unam horam rarefiet infinita tarditate; ergo non est necesse quod aliquid condensetur si aliquid rarefiat.
Assumptum arguitur: quia ponatur, ut prius, quod AB linea sit pedalis quantitatis, et quod illa incipiat rarefieri per partem ante partem ab A puncto ita quod incipit A punctus moveri motu rarefactionis continue intentendo motum suum a quiete usque ad E gradum exclusive, et quod nullus punctus alius ab A in praesenti instanti incipiat moveri, et ponitur quod per illam latitudinem motus a quiete usque ad E possit pertransiri pedalis quantitatis in hora, et quod continue erit ita quod quaelibet pars A cuius quilibet punctus intrinsecus movetur uniformiter rarefiat; quibus positis arguitur conclusio, scilicet quod aliquid rarefiet per unam horam infinita tarditate: quia AB linea per totam istam horam rarefiet infinita tarditate.
Quod arguitur sic: quia infinita tarditate incipit aliqua pars AB lineae rarefieri, et non maiori tarditate incipit aliqua pars rarefieri quam continue per totam illam horam rarefiet aliqua; ergo per totam illam horam rarefiet aliqua pars infinita tarditate et cetera.
Ista consequentia patet, et antecedens arguitur. Maior enim patet per casum: quia aliqua tarditate incipit aliqua pars rarefieri, et nulla est tanta tarditas quin in duplo maiori tarditate incipiat aliqua pars AB rarefieri et quin in quadruplo maiori incipiat aliqua etiam rarefieri, et sic in infinitum; ergo infinita tarditate incipit aliqua pars rarefieri.
Et consimiliter probatur minor: quia infinita tarditate movebitur aliqua pars AB lineae per totam istam horam, quia aliqua tarditate movebitur aliqua pars, et nulla tarditate movebitur aliqua per totam illam horam quin in duplo maiori tarditate movebitur aliqua pars, et sic in infinitum; ergo infinita tarditate movebitur aliqua pars per totam istam horam. Tunc arguitur sic: infinita tarditate rarefiet aliqua pars per totam istam horam, et non tardius rarefiet aliqua pars per totam istam horam quam rarefiet AB linea per totam illam horam; ergo infinita tarditate rarefiet tota AB linea per totam illam horam.
Consequentia patet, et antecedens probatur. Maior enim immediate ante fuit declarata. Et minor arguitur sic, scilicet quod non tardius rarefiet aliqua pars quam tota AB linea: quia si aliqua pars tardius rarefiet quam tota AB linea, sit illa pars gratia [157va] exempli D.
Tunc arguitur sic: D pars vel rarefiet secundum se et quamlibet eius partem vel non. Si sic, tunc arguitur sic: D pars rarefiet secundum et quamlibet eius partem, et quaelibet pars cuius quilibet punctus intrinsecus movetur uniformiter ita velociter rarefiet sicut aliqua pars AB lineae per casum, quia positum est quod quaelibet pars talis uniformiter rarefiet; ergo D pars cum quilibet eius punctus intrinsecus moveatur uniformiter ita velociter rarefiet sicut aliqua pars eiusdem AB lineae, et si sic; ergo tota AB non velocius rarefiet quam D pars AB lineae, et sic non velocius rarefiet quam aliqua eius pars; ideo et cetera.
Ideo si dicatur quod D pars non rarefiet secundum quamlibet eius partem sed secundum aliquam sic et secundum aliquam non; contra adhuc sequitur idem. Capiatur tota pars ipsius D quae rarefiet secundum quamlibet eius partem, et arguitur tunc sic: haec pars ipsius D ita velociter rarefiet sicut aliqua pars totius AB lineae, per argumentum prius factum ex casu, et tota alia pars D partis quiescet sicut etiam quiescit tota residua totius AB lineae; ergo ita velociter rarefiet D pars sicut tota AB linea.
Tota enim velocitas rarefactionis AB lineae attenditur penes velocitatem rarefactionis partis rarefactae secundum quamlibet suam partem; ergo cum ita velociter rarefiat tota pars D quae rarefit sicut aliqua pars AB lineae quae rarefiet, et nec tota AB linea rarefit nisi propter sui partem rarefactam, nec etiam D pars nisi per partem sui rarefactam, sequitur quod ita velociter rarefiet D pars sicut tota AB linea, quod erat probandum. Et sic universaliter arguitur de omni parte AB lineae quod ita velociter rarefiet sicut tota AB linea, et si sic, cum infinita tarditate continue rarefiet aliqua pars totius AB, sequitur quod infinita tarditate continue rarefiet AB linea. Et tunc arguitur sic: si per totam istam horam erit ita quod infinita tarditate rarefiet AB linea; ergo per totam istam horam AB rarefiet infinita tarditate, quod erat probandum.
Consequens impossibile, et consequentia arguitur sic: quia sequitur ‘per horam ita erit quod infinita tarditate movebitur hoc vel illud; ergo hoc vel illud movebitur infinita tarditate’; igitur consimiliter sequitur ‘si per totam istam horam erit ita quod infinita tarditate rarefiet AB linea; ergo per eandem horam AB linea rarefiet infinita tarditate’.
Praeterea in casu posito arguitur sic: vel rarefiet tota D pars uniformiter vel difformiter. Quod uniformiter patet ex casu: quia supponitur quod quaelibet pars talis cuius quilibet punctus intrinsecus movetur rarefiet uniformiter. Quo posito, sequitur quod continue erit tota pars AB rarefacta secundum quamlibet sui partem rarefactam.
Sed arguitur quod hoc repugnat casui: quia tunc sequeretur quod ita cito sicut terminabitur rarefactio ad talem punctum vel ad talem quod tota pars incipiens ab A puncto terminata in tale vel tale, demonstrato eodem puncto qui prius erit rarefactus uniformiter secundum se et quamlibet partem, et breviter sequitur illud quod ita cito sicut aliqua pars secundum quamlibet eius partem erit rarefacta quod illa erit tunc uniformiter rarefacta.
Et arguitur quod non: quia signetur prima medietas totius AB lineae, quae incipit ab A puncto et terminatur ad medium punctum totius AB lineae, et vocetur illa medietas A, eo quod terminetur ad A punctum. Et arguitur sic: in [157vb] quolibet instanti ante medium instans totius horae erit illa medietas totius rarefacta difformiter, una pars videlicet magis et alia minus rarefacta, et in instanti medio non erit aliqua pars illius medietatis in aliqua proportione aliter rarefacta quam ante medium erit eadem pars rarefacta; ergo in instanti medio erit tota A medietas difformiter rarefacta, et si sic; ergo non erit uniformiter rarefacta. Similiter: qua ratione illa medietas in instanti medio erit uniformiter rarefacta, sequitur quod tota AB linea in fine totius horae erit uniformiter rarefacta.
Et arguitur quod non: quia si tota AB linea debeat rarefieri per totam illam horam consimiliter omnino sicut incipit aliqua eius pars rarefieri, cum illa fuerit rarefacta secundum quamlibet sui partem, tunc tota AB linea foret uniformiter rarefacta in fine totius horae, sed in casu posito in nullo instanti rarefiet tota AB linea secundum quamlibet sui partem; ergo iuxta positionem non erit tota AB linea uniformiter rarefacta in fine, et si sic; ergo nec aliqua pars
eius ita cito erit uniformiter rarefacta sicut illa erit rarefacta secundum se et quamlibet sui partem, et si sic; igitur non continue quaelibet pars erit secundum se totam rarefacta uniformiter, quod est contra casum.
Et consequentia probatur sic: quia sequitur ‘hoc rarefit; ergo [hoc] est rarefactum’, quocumque demonstrato, quia non est dare primum instans in quo rarefit tale vel tale, quocumque demonstrato. Et arguitur tunc sic: si hoc rarefit; ergo hoc est rarefactum; ergo si hoc rarefit uniformiter, hoc est uniformiter rarefactum. Sequitur enim ‘hoc movetur uniformiter; ergo est motum uniformiter’, ‘hoc agit uniformiter; ergo hoc egit uniformiter’, et sic de aliis; ergo et cetera.
Praeterea in casu posito tota AB linea non rarefiet uniformiter: quia nec per tempus nec per instans. Omne enim quod erit aut erit per tempus aut per instans, et omne quod movetur aut movetur per tempus aut per instans, et similiter omne quod rarefiet aut rarefiet per tempus aut per instans, sed tota AB linea non rarefiet uniformiter nec per tempus nec per instans; ergo illa non rarefiet uniformiter.
Consequentia patet, et assumptum probatur: quia in nullo instanti in quo AB linea rarefiet rarefiet illa uniformiter.
Quod arguitur sic: quia in nullo instanti in quo non movebitur quilibet eius punctus intrinsecus rarefiet tota AB linea uniformiter, sed in quolibet instanti in quo AB linea rarefiet non movebitur quilibet punctus illius intrinsecus; ergo in nullo instanti in quo AB linea rarefiet rarefiet illa uniformiter.
Consequentia patet, et assumptum probatur, scilicet quod in nullo instanti in quo non movebitur quilibet punctus illius intrinsecus rarefiet AB linea uniformiter: quia in quolibet tali instanti rarefiet una eius pars magis et alia minus, quia notum est quod semper in tali instanti minus rarefiet talis pars quae non rarefiet secundum quamlibet sui partem quam talis quae rarefiet secundum quamlibet sui partem; ergo et cetera. Patet ergo iuxta casum positum quod in nullo instanti rarefiet tota AB linea uniformiter, et si sic; ergo nec per tempus nec per instans uniformiter rarefiet, et si sic, sicut argutum est in principio, illa numquam rarefiet uniformiter, quod apparet contra casum ex quo quaelibet pars mota secundum quemlibet sui punctum intrinsecum rarefiet uniformiter et quaelibet eius pars quantitativa erit mota secundum quemlibet sui punctum intrinsecum; ergo et cetera.
Praeterea arguitur quod AB linea non rarefiet per totam istam horam: quia AB linea non maiorabitur per totam istam horam; ergo AB linea non rarefiet et cetera.
Consequentia patet, et antecedens probatur: quia si AB [158ra] linea maiorabitur per totam istam horam, et ista hora in praesenti instanti incipit esse; ergo AB linea in praesenti instanti maiorabitur vel incipit maiorari, sed adhuc non maioratur AB linea, ut suppono, nec iam incipit maiorari.
Quod arguitur sic: quia AB linea numquam erit maior quam ipsa iam est antequam quaelibet eius pars proportionalis erit maior quam illa modo est, sed non immediate post instans quod est praesens quaelibet eius pars proportionalis erit maior quam ipsa iam est. Numerentur enim partes proportionales istius lineae sic quod eius prima pars proportionalis sit eius remotior medietas ab isto puncto a quo incipit rarefactio ita breviter quod partes proportionales istius minores terminentur versus A. Quo posito arguitur sic: non immediate post instans quod est praesens erit quaelibet pars AB lineae maior quam in instanti praesenti est eadem pars proportionalis; ergo non immediate post instans quod est praesens AB linea erit maior quam ipsa est in praesenti instanti.
Antecedens patet: quia non immediate post instans quod est praesens erit prima pars proportionalis maior quam illa iam est, et breviter nulla pars proportionalis illius ordinis incipit iam maiorari, quia quaelibet pars quaecumque detur erit per tempus post hoc tanta
praecise sicut iam est, sicut manifeste sequitur ex casu. Nulla enim pars maioratur antequam aliquis punctus illius movetur. Sed quacumque parte illius ordinis assignata nullus punctus illius iam incipit moveri; ergo et cetera.
Similiter arguitur quod illa linea iam non incipit maiorari: quia iam non incipit aliqua pars proportionalis illius maiorari.
Probatio: iam non incipit aliqua pars proportionalis illius maiorari quae in aliquo instanti post hoc futuro incipiet maiorari, quia nulla bis incipit maiorari, ut suppono. Et arguitur tunc sic: iam non incipit aliqua pars maiorari quae in aliquo instanti post hoc incipiet maiorari, sed quaelibet in aliquo instanti post hoc incipiet maiorari; ergo iam non incipit aliqua pars maiorari.
Consequentia probatur: quia si [non] valet, stet oppositum, et tunc stabunt ista simul quod iam incipit aliqua pars proportionalis illius ordinis rarefieri et quaelibet in aliquo instanti post hoc incipiet rarefieri.
Sed probatur quod illa sint impossibilia: quia sequitur ‘iam incipit aliqua pars rarefieri, et quaelibet post hoc incipiet rarefieri; ergo iam incipit aliqua rarefieri quae post hoc incipiet rarefieri’.
Consequentia nota: quia sequitur ‘iam incipit aliqua rarefieri; ergo iam incipit aliqua rarefieri quae post hoc incipiet rarefieri vel quae non post hoc incipiet rarefieri, sed iam non incipit aliqua rarefieri quae post hoc non incipiet rarefieri, quia nulla est talis; ergo iam incipit aliqua rarefieri quae post hoc incipiet rarefieri’, et si sic; ergo a primo sequitur ‘si iam non incipit aliqua rarefieri quae post hoc incipiet, et quaelibet post hoc incipiet rarefieri; ergo iam non incipit aliqua rarefieri’.
Similiter in casu isto probatur quod iam incipit aliqua rarefieri quae in aliquo instanti futuro post hoc incipiet rarefieri: quia sequitur ‘iam non rarefit aliqua quae post hoc in aliquo instanti futuro incipiet rarefieri, et immediate post hoc instans quod est praesens rarefiet aliqua pars quae in aliquo instanti futuro post hoc incipiet rarefieri; ergo iam incipit aliqua rarefieri quae in aliquo instanti futuro post hoc et cetera’.
Consequentia patet, et minor probatur: quia in [158rb] quolibet instanti intrinseco istius horae rarefiet aliqua pars quae in aliquo instanti futuro post primum instans eiusdem horae incipiet rarefieri; ergo immediate post primum instans rarefiet aliqua quae in aliquo instanti futuro et cetera.
Assumptum arguitur pro quolibet instanti intrinseco istius horae. In instanti enim medio rarefiet aliqua pars quae in aliquo instanti futuro incipiet rarefieri: quia tunc rarefiet secunda quae post instans primum incipiet rarefieri. Quoniam secunda incipiet rarefieri in primo instanti secundae partis proportionalis totius horae numerando sic partes proportionales quod prima pars proportionalis sit medietas totius horae ita quod partes proportionales minores terminentur versus instans praesens, scilicet primum instans intrinsecum totius horae, et sic universaliter de quolibet instanti, scilicet quod in illo instanti rarefiet aliqua pars proportionalis quae in aliquo instanti futuro incipiet rarefieri seu maiorari, quod idem est ad praesens; sequitur ergo quod si nunc incipiet aliqua pars proportionalis illius ordinis maiorari quod iam incipit maiorari aliqua quae in instanti futuro incipiet maiorari; ergo ex opposito sequitur oppositum, scilicet si iam non incipiet aliqua maiorari quae in aliquo instanti futuro post hoc incipiet maiorari quod iam non incipit aliqua illarum maiorari, quod erat probandum. Similiter: iam non incipit aliqua illarum maiorari, quia iam non incipit aliqua maiorari quae iam non incipit maiorari nec iam incipit aliqua maiorari quae iam incipit maiorari, quia nulla est talis quae iam incipit maiorari, sicut patet; ergo et cetera.
Praeterea in casu isto posito arguitur quod tota AB linea non acquiret in aliquo instanti maiorem quantitatem quam illa modo habet, cuius tamen oppositum sequitur ex casu. Ponitur enim in casu isto quod tota AB linea sit pedalis quantitatis et quod illa rarefiat continue
intendendo motum suum a quiete usque ad E gradum velocitatis et quod per illam latitudinem acquiret sibi pedalem quantitatem; igitur in fine erit illa maior quam in principio. Sed arguitur quod non: quia AB linea in infinitum tardius incipit maiorari quam si inciperet maiorari uniformiter E gradu velocitatis, sit C gradus velocitatis uniformis correspondens toti latitudini acquirendae a quiete usque ad E gradum exclusive, et tunc arguitur sic: AB linea in infinitum tardius incipit maiorari quam inciperet ab E gradu continuando ipsum uniformiter, et AB linea in tota hora non maiorabitur in duplo velocius quam incipit maiorari, et si AB linea per totam istam horam continue maiorabitur uniformiter E gradu, tunc illa praecise acquiret pedalem quantitatem in tota hora; igitur illa nunc acquiret multo minus pedali quantitate vel nihil.
Consequentia patet, et antecedens probatur. Maior satis patet ex casu, scilicet quod AB linea in infinitum tardius incipit maiorari quam si inciperet maiorari C gradu uniformiter: quia in duplo tardius incipit illa maiorari quam tunc inciperet, et in quadruplo tardius, et sic in infinitum; ergo et cetera.
Et secunda pars eiusdem arguitur, scilicet quod tota AB linea in nullo instanti istius horae maiorabitur in duplo velocius quam incipit maiorari: quia non tardius incipit AB linea maiorari quam continue maiorabitur aliqua pars eiusdem secundum se et quamlibet eius partem, sed continue ita velociter maiorabitur quaelibet eius pars maiorata secundum quamlibet eius partem sicut maiorabitur tota AB linea; ergo et cetera.
Assumptum arguitur sic ex casu: quia ponitur quod omnes partes rarefactae secundum se totas continue rarefiant uniformiter.
Similiter: si AB tantum [158va] maiorabitur in illa hora sicut illa maiorabitur si illa inciperet a gradu E continuando E gradum per totam horam; ergo in qua proportione illa tardius maiorabitur in prima medietate quam nunc maiorabitur ita in secunda medietate velocius maiorabitur, sed, sicut iam est probatum, in infinitum tardius maiorabitur illa in prima medietate quam tunc maiorabitur illa in eadem medietate istius horae; ergo in secunda medietate maiorabitur illa in infinitum velocius quam tunc maioraretur illa in eadem secunda medietate, et si sic; ergo AB intendet motum suum in infinitum ultra E gradum, cuius oppositum est suppositum.
Ad haec respondetur, primo ad casum, quando supponitur quod AB linea intendet motum suum per totam istam horam uniformiter a quiete usque ad E gradum velocitatis exclusive, dicitur quod hoc est impossibile. Haec enim propositio est impossibilis de praesenti ‘aliquid intendit uniformiter motum suum per horam’ et similiter illa ‘aliquid intendit motum suum a quiete uniformiter usque ad E gradum vel usque ad F gradum, et sic de singulis’. Sed haec responsio non vadit ad propositum argumenti; ideo supponitur totus casus de futuro sic quod AB linea uniformiter intendet motum suum per horam illam et quod incipiat intendere a quiete, et quod intendet usque ad E gradum. Quo admisso, quando ulterius arguitur quod tota AB linea rarefiat infinita tarditate per totam istam horam, dicitur quod hoc est mere impossibile: quia est impossibile quod aliqua sit tarditas infinita. Et quando arguitur quod sic, quia infinita tarditate incipit aliqua pars AB lineae rarefieri, et non tardius incipit aliqua rarefieri quin ita rarefiet aliqua per totam istam horam, et ita tarde rarefiet tota AB linea per totam istam horam sicut aliqua eius pars; ergo infinita tarditate rarefiet AB linea per totam istam horam, huic dicitur concedendo consequentiam. Antecedens tamen est negandum, scilicet quod non tardius incipit aliqua pars rarefieri quam per totam istam horam rarefiet aliqua. Unde in casu isto quaelibet pars quae incipit rarefieri tardius incipit rarefieri quam aliqua rarefiet per totam istam horam seu quam per totam istam horam rarefiet aliqua pars.
Et ad probationem illius, quando arguitur quod non, quia infinita tarditate rarefiet aliqua pars per totam illam horam, quia aliqua tarditate et cetera, huic dicitur negando consequentiam, et tamen conceditur quod tardius incipit aliqua pars rarefieri quam aliqua rarefiet per horam, et illa prima medietas totius AB lineae tardius incipit rarefieri quam aliqua pars totius raferiet per totam istam horam. Et si arguitur tunc quod aliqua incipit tardius rarefieri quam infinita tarditate, negatur consequentia. Et causa est quia non sequitur ‘infinita tarditate rarefiet haec pars, quacumque demonstrata; ergo in infinitum tardius rarefiet illa quam si illa rarefieret gradu velociori isto, demonstrato uno certo gradu. Et causa est quia posito quod aliquid rarefieret uniformiter aliquo eius puncto continue quiescente quacumque velocitate data moveatur punctus velocissime motus illius infinita tarditate rarefit totum illud categorematice.
Unde quacumque tarditate rarefit aliqua pars eius posito quod nulla pars condensetur eadem tarditate rarefit illud cuius est tota illa pars; cum igitur infinita tarditate rarefit continue aliqua pars illius talis corporis, sequitur quod etiam infinita tarditate rarefit illud totum; unde infinitis valocitatibus simul rarefit totum corpus et universaliter omne corpus quod rarefit infinitis velocitatibus simul est rarefactum. Quaelibet enim pars habet diversam velocitatem et totum corpus rarefit velocitatibus omnium [158vb] suarum partium.
Et si arguitur ex isto quod aliquid rarefit simul aliquo alio tardius et velocius eodem, huic dicitur quod non valet ista consequentia, nec sequitur quod ipsum sit tale cuius una pars tardius rarefit et alia eadem parte velocius, sed aeque velociter rarefit pars talis in casu frequentissimo quae in centuplo tardius movetur sicut quae in centuplo tardius velocius movetur, sicut est universaliter in omni motu: quia est rarefactio uniformis aliquo puncto ipsius rarefacti continue quiescente.
In omni enim tali casu quaelibet pars quae rarefit aeque velociter rarefit sicut alia; et ideo non sequitur ‘infinita tarditate rarefiet tota AB linea per totam istam horam; ergo in infinitum tardius rarefiet ipsa per eandem horam quam si ipsa continue rarefieret E gradu vel D gradu velociori eiusdem, et sic de quocumque gradu finito’. Et ideo etiam est negandum quod non tardius incipit aliqua rarefieri quam rarefiet aliqua per totam horam. Ideo, sicut iam est declaratum, non sequitur ‘non maiori tarditate incipit aliqua pars rarefieri quam rarefieret aliqua pars per totam istam horam; ergo non tardius incipit aliqua rarefieri quam rarefiet aliqua per totam horam’.
Sed forte contra hoc arguitur sic: si ista consequentia valeret, scilicet ‘infinita tarditate alicuius corporis aliqua pars rarefit; ergo infinita tarditate rarefiet illud totum cuius est pars’; ergo consimiliter valet talis consequentia ‘si infinita tarditate movetur alicuius corporis aliqua pars; ergo infinita tarditate movetur illud totum cuius est pars’, et tunc sequitur quod infinita tarditate moveretur caelum, et quod ita tarde moveretur quodcumque corpus motum sicut aliqua pars eius, quod mere est impossibile. Huic dicitur quod non valet illa consequentia prius facta nec est ista consequentia prius concessa ‘si infinita tarditate rarefiat aliqua pars talis corporis vel talis; ergo infinita tarditate rarefiet corpus’. Non enim sequitur ex isto quod tale corpus rarefiet: quia non sequitur, sicut prius dictum est, ‘aliqua pars talis corporis rarefiet; ergo illud corpus rarefit’. Et ideo non valet ista consequentia nec fuit illa prius concessa, sed concessum erat quod si infinita tarditate rarefit aliqua pars talis corporis quod rarefit; ergo infinita tarditate rarefit illud idem.
Et quando arguitur quod aliud consimiliter foret concedendum quod si infinita tarditate movetur aliqua pars alicuius quod movetur; ergo infinita tarditate movetur illud totum, huic dicitur quod non oportet valere istam consequentiam propter rationem illius similitudinis. Et causa est quia velocitas in motu semper attenditur penes punctum velocissime motum, si aliquis fuerit talis; unde ita velociter movetur caelum sicut aliquis eius punctus vel aliqua eius pars, et caelum non movetur ita tarde sicut aliqua eius pars.
Unde quamvis concedatur, sicut probabiliter potest concedi et sustineri, quod infinita tarditate movetur caelum et non maiori tarditate movetur aliqua pars caeli quam movetur totum caelum categorematice tamen in infinitum tardius movetur aliqua pars caeli quam movetur totum caelum; unde nullo modo debet concedi quod caelum ita tarde movetur sicut aliqua eius pars; unde hoc est mere impossibile. Istud tamen potest probabiliter sustineri quod infinita tarditate movetur totum caelum: quia infinitis tarditatibus et infinitis velocitatibus movetur simul totum caelum, quia ipsum movetur sicut potest rationabiliter dici qualibet velocitate qua movetur aliqua eius pars quantitativa.
Et iuxta hanc responsionem non valet haec consequentia ‘non maiori tarditate movetur aliquis planeta quam movetur totum caelum; ergo non [159ra] tardius movetur aliquis planetarum quam movetur totum caelum.
Sicut enim prius dictum est, caelum movetur ita tarde sicut punctus eius velocissime motus, et caelum non movetur tardius quam ille punctus, et tamen caelum movetur maiori tarditate quam movetur ille punctus: quia una tarditate maiori, videlicet qua movetur una pars caeli propinqua polo quiescenti; ideo et cetera.
Et quamvis illa possit probabiliter sic sustineri et concedi, non tamen oportet hoc dici propter illam similitudinem prius deductam. Sicut enim ibidem dicebatur, similitudo nullo modo operatur. Et causa est quia motu locali ita velociter movetur totum sicut aliqua eius pars, et non est possibile quod aliqua pars alicuius velocius moveatur quam illud totum maximum cuius est pars, et in multis non est possibile quod totum moveatur ita tarde sicut movetur aliqua eius pars, et hoc universaliter est verum ubi aliquid movetur cuius aliquis punctus continue quiescit.
Sequitur enim ‘si aliquid sit motum cuius aliqua pars vel punctus quiescit, et continue quiescet maxima pars illius quae iam quiescit seu punctus ille qui iam quiescit si solummodo quiescat punctus illius quiescit; ergo totum illud non movetur ita tarde sicut movetur aliqua pars eius’, sed in rarefactione non est ita: quia non sequitur, quamvis aliquid rarefiat, quod ita velociter rarefiat totum sicut aliqua eius pars.
Unde in casu multo velocius rarefit aliqua pars quam totum, sicut in casu illo multo velocius rarefit pars ubi illud cuius est pars illa non rarefit, et sic est in aliis actionibus multis, sicut in calefactione et frigefactione, et sic deinceps: quia multo velocius calefit pars quam totum illud cuius est pars, et multo velocius frigefit pars quam totum et cetera, et multo plus intenditur pars caliditatis quam maxima caliditas cuius illa est pars, et sic de aliis. Sed sic non est de motu locali. Non enim est possibile quod pars motus sit intensior vel velocior quam totus ille motus cuius est pars.
Et ideo non procedit argumentum ad probandum esse necesse quod infinita tarditate movetur caelum nec est aliquo modo concedendum quod caelum movetur ita tarde sicut aliqua eius pars movetur: quia hoc est mere impossibile, sicut iam dictum est bene bis. Et quando tunc arguitur in argumento principali quod nulla pars AB lineae tardius rarefiet quam tota AB linea rarefiet per totam horam, huic dicitur quod sic: quia continue erit ita quod aliqua pars AB lineae incipiens ab A puncto terminata ad aliquem punctum intrinsecum partis rarefactae secundum quamlibet sui partem tardius rarefiet quam tota AB linea, quia continue erit ita quod aliqua talis pars minus maiorabitur proportionabiliter propter sui rarefactionem quam maiorabitur tota AB linea propter totalem rarefactionem; ergo et cetera.
Et quando arguitur quod talis pars, quaecumque detur pars, illius secundum quamlibet sui partem rarefactam ita velociter rarefit sicut aliqua pars totius AB lineae, et tota residua pars sui quae quiescet sicut tota pars residua AB linae; ergo ita velociter illa D pars rarefit sicut tota AB linea, dicitur negando consequentiam. Et causa satis liquet in proximo verbo praecedente: quia forte non tantum proportionaliter maioratur illa D pars propter sui rarefactionem sicut maioratur tota AB linea.
Ad secundam formam principalis argumenti, quando arguitur quod non continue rarefiet quaelibet pars rarefacta uniformiter, huic dicitur concedendo conclusionem. Dicitur tamen quod continue est ita quod quaelibet pars quae rarefit secundum quamlibet sui partem uniformiter rarefiet, quocumque demonstrato.
Et quando arguitur quod non, quia tunc continue erit ita quod quaelibet pars rarefacta secundum quamlibet sui partem uniformiter erit rarefacta, huic dicitur negando consequentiam. Unde non sequitur ‘hoc rarefit uniformiter; ergo hoc est uniformiter rarefactum’.
Et ad argumentum, quando arguitur quod sic, quia sequitur ‘hoc rarefit; ergo hoc est rarefactum’; ergo consimiliter sequitur eodem addito [159rb] utrobique ‘hoc rarefiet uniformiter; ergo hoc erit rarefactum uniformiter’, huic dicitur negando consequentiam ultimo factam, penultima tamen consequentia est satis bona, illa scilicet ‘hoc rarefit; ergo hoc est rarefactum’, et ultra non valet illa consequentia; immo in multis fallit ille modus arguendi quando sic arguitur: talis consequentia est bona; ergo eodem addito ad antecedens illius et ad consequens eiusdem tenebit consequentia.
Turpissimus enim modus arguendi est iste ‘illa consequentia est bona tamquam ab uno convertibili ad reliquum ‘hoc est hoc; ergo hoc est iste homo, demonstrato Socrate’, et tamen non sequitur ‘si hoc apparet esse homo, hoc apparet esse iste homo, demonstrato Socrate’, illa etiam convertuntur ‘animal est homo’ et ‘animal quod est homo est homo’, et tamen non sequitur ‘omne animal quod est homo est homo; ergo omne animal est homo’.
Dicitur enim in argumento facto quod non valet consequentia facta, sed conceditur quod aliquid rarefiet uniformiter et quod aliquid rarefiet uniformiter per istud totum tempus usque ad finem istius horae, et illud tamen numquam erit uniformiter rarefactum. Ad hoc enim quod aliquid uniformiter rarefiat, non requiritur quod in aliquo instanti praesenti rarefiat illud et quod nulla pars illius aliqua eiusdem rarefiat velocius vel tardius, ut posito quod quaelibet pars illius quantitativa si per tempus aliquod rarefiat totaliter sicut eadem pars rarefit in praesenti instanti, aequaliter praecise rarefieret quaelibet pars talis per illud tempus sicut rarefieret aliqua pars per idem tempus.
Unde nihil aliud est rarefieri uniformiter nisi quod omnes partes quantitativae illius aeque velociter rarefient ita quod continue erunt ita rarae sicut in principio fuerunt aeque rarae, et quod continue maneat quaelibet pars proportionalis totius ordine quo in principio. Unde non sequitur ‘omnes partes quantitativae huius corporis rarefiunt aeque velociter; ergo illae moventur omnes aeque velociter’. Sicut enim prius est dictum frequenter, aliqua quae in centuplo tardius movetur in centuplo velocius rarefit in casu aliquo; ergo et cetera.
Ad hoc tamen quod aliquid sit rarefactum uniformiter, requiritur quod postquam illud incepit rarefieri quod non sit aliqua pars illius aliqua eius magis vel minus rarefacta. Sed in casu supposito hoc non erit verum de aliqua parte totius AB lineae; et ideo non valet consequentia illa facta nec ipsa probat aliquid contra casum primo positum.
Sed forte arguitur contra hanc responsionem: quia si aliqua pars AB lineae in aliquo instanti rarefiet uniformiter; ergo post illud instans erit ita quod illa pars fuit rarefacta post illud instans uniformiter, sit illud instans gratia argumenti medium instans totius horae mensurantis illam rarefactionem positam, et sit tota A medietas rarefacta, et arguitur tunc quod prima pars proportionalis illius medietatis, ut puta illa medietas A medietatis quae incipit a B puncto, est uniformiter rarefacta, quia posito quod F sit primum instans in quo pars illa erit rarefacta secundum quamlibet sui partem, et arguitur tunc sic: illa prima pars proportionalis A medietatis rarefiebat uniformiter in F instanti, et etiam continue post F instans; ergo illa pars fuit uniformiter rarefacta per idem argumentum.
Sed probatur quod non per illam responsionem prius datam: quia aliqua pars illius aliqua alia eiusdem est magis vel minus rarefacta postquam tota incipit rarefieri; ergo tota non est uniformiter rarefacta, huic dicitur quod illa pars non est uniformiter rarefacta in tali instanti.
Et ad argumentum, quando arguitur quod illa est uniformiter rarefacta post F instans et etiam fuit uniformiter rarefacta post F instans, dicitur quod non; [159va] ideo non sequitur ‘ista pars rarefiet in F instanti et etiam continue post F instans; ergo nulla pars eiusdem aliqua alia eiusdem magis vel minus fuit rarefacta post F instans continue’: quia quamvis post F instans rarefiebant omnes partes illius uniformiter et aeque velociter, tamen post illud instans fuit una pars illius alia parte eiusdem magis vel minus rarefacta per rarefactionem ante illud instans F; ergo et cetera.
Ad tertiam formam, quando arguitur in argumento principali quod AB linea non rarefiet per totam istam horam, quia non maiorabitur per totam illam horam, huic dicitur quod iste modus arguendi non valet, tamen ista consequentia est bona de illa linea. Dicitur tamen quod de tali cuius aliqua pars possit auferri ipsa manente cuiusmodi est homo et res animata non valet huiusmodi consequentia. Posset enim esse quod res talis continue posset fieri rarior et rarior, et tamen continue minor et minor; et ideo non sequitur si aliqua res non maioratur quod ista non rarefit. Sed ceteris paribus bene sequitur sicut sic arguendo: talis res non maiorabitur nec aliqua eius pars corrumpetur; ergo illa non rarefit. Dicitur enim quod illa linea incipit rarefieri et etiam maiorari.
Et ad argumentum, quando arguitur quod iam non incipit aliqua pars illius maiorari; ergo nec illa linea iam incipit maiorari, huic dicitur quod ista consequentia est bona, quacumque re demonstrata. Unde posito quod Socrates inciperet maiorari per novas partes et novas et de novo advenientes, ita quod nulla pars quae nunc est vel fuit prius inciperet maiorari vel maiorabitur in toto tempore illo, adhuc tamen inciperet Socratis aliqua pars maiorari; unde non sequitur ‘nulla pars Socratis incipit maiorari; ergo iam non incipit aliqua pars Socratis maiorari’; ideo conceditur illa consequentia tamquam formalis ‘iam non incipit aliqua pars B lineae; ergo et cetera’, et negatur antecedens.
Et ad argumentum, quando arguitur quod sic, quia iam non incipit aliqua pars maiorari quae in aliquo instanti futuro post hoc incipiet maiorari, huic dicitur negando istam propositionem.
Et quando arguitur quod nulla bis incipiet maiorari, dicitur concedendo illam. Unde non sequitur ‘iam incipit aliqua illarum partium proportionalium maiorari quae in aliquo instanti futuro post hoc incipiet maiorari; ergo aliqua bis incipiet maiorari’ quamvis iam incipiat aliqua pars maiorari quae et cetera, tamen nulla illarum incipit maiorari sicut iam incipit aliquod instans futurum esse praesens, et tamen nullum instans futurum iam incipit esse praesens; conceditur igitur ista consequentia principalis ‘iam non incipit aliqua illarum partium proportionalium maiorari quae in aliquo instanti futuro post hoc incipiet maiorari, et quaelibet istarum in aliquo instanti incipiet maiorari; ergo iam non aliqua pars proportionalis incipit maiorari’, et negatur antecedens. Maior enim est falsa, sicut satis probavit argumentum ad illam.
Et conceditur etiam quod iam incipit maiorari aliqua quae non incipit maiorari: quia iam incipit aliqua illarum maiorari, et tamen nulla illarum incipit maiorari. Et ideo conceditur quod iam incipit tota AB linea maiorari et etiam quod iam incipiunt infinitae partes illius maiorari.
Ad aliam formam, quando arguitur quod non, quia iam non incipit quaelibet pars proportionalis AB lineae maiorari, sed AB linea numquam erit maior quam ipsa modo est antequam erit quaelibet eius pars proportionalis maior quam eadem pars modo est; ergo et cetera, huic dicitur concedendo illam propositionem, scilicet quod iam non incipit quaelibet pars proportionalis AB lineae maiorari: quia nulla illarum incipit maiorari.
Et ulterius, quando arguitur quod numquam erit AB linea maior quam prius antequam erit quaelibet pars proportionalis eius maior quam iam est eadem, dicitur negando illam. Et ad argumentum, quando arguitur ulterius quod sic, quia quandocumque erit AB linea maior quam ista iam est tunc erit quaelibet pars proportionalis maior quam ista eadem est, quia tunc erit prima maior [159vb] quam iam est prima, et similiter secunda maior quam iam est secunda, et sic deinceps, et nulla erit pars proportionalis illius nisi prima vel secunda vel tertia vel sic deinceps; ergo quandocumque erit ista linea tota maior quam ista iam est tunc erit quaelibet eius pars maior quam modo est eadem, huic dicitur negando consequentiam.
Sicut enim sequitur ex casu per magnum tempus post instans quod est praesens non erit quaelibet pars proportionalis eius maior quam ipsa modo est, quia ista quae est iam pars totius non erit maior ante instans medium totius horae incipientis a praesenti instanti quam iam est, et ideo non immediate post hoc quaelibet pars AB proportionalis erit maior quam ista modo est, quia
non immediate post hoc erit quaelibet pars quae iam erit maior quam modo est. Unde sequitur si immediate post hoc erit quaelibet pars maior quam ipsa iam est, et aliqua est pars proportionalis illius; ergo immediate post hoc erit quaelibet pars quae est maior quam ista iam est et quaelibet quae erit post hoc instans maior quam ipsa iam est non erit post quodlibet instans futurum, sed post hoc instans erit quodlibet instans, quia non post hoc erit hoc instans quod modo est. Et conceditur in argumento illo quod immediate post hoc erit ita quod quaelibet pars proportionalis AB lineae est maior quam in principio horae fuit pars consimilis in eodem ordine; ideo immediate post hoc erit ita quod prima est maior quam in principio fuit prima et secunda maior quam in principio fuit secunda, et sic deinceps, et hoc bene probant argumenta facta ibidem et non aliud; ideo et cetera.
Ad ultimam formam, qua arguitur in principali argumento quod tota AB linea non erit in duplo maior quam in principio illius horae fuit, huic dicitur quod sic.
Et quando arguitur quod non, quia ista in infinitum tardius incipit maiorari quam si ista inciperet maiorari A C velocitatem continue uniformiter, dicitur concedendo conclusionem, sicut probat argumentum.
Et quando arguitur quod ista tota AB linea numquam maiorabitur in duplo velocius quam ista incipit maiorari, huic dicitur quod sic; immo ista incipit in infinitum velocius maiorari quam ista incipit maiorari: quia ista non maioratur in duplo velocius quam ipsa incipit maiorari et immediate post hoc maiorabitur in duplo velocius quam ipsa incipit maiorari, quia, sicut notum est, ante quodlibet instans futurum illa maiorabitur in duplo velocius quam illa incipit maiorari, et in triplo, et in quadruplo, et sic in infinitum; ergo illa incipit in infinitum velocius maiorari quam ipsamet incipit maiorari, negatur consequentia.
Et ad argumentum, quando arguitur quod ista numquam in duplo velocius maiorabitur quam illa incipit maiorari, quia ista numquam in duplo velocius rarefiet quam illa incipit rarefieri, huic dicitur quod sic.
Et quando arguitur quod non, quia continue rarefiet aliqua pars secundum se et quamlibet sui partem ita tarde sicut iam incipit AB rarefieri vel aliqua eius pars, et continue ita tarde rarefiet tota AB linea sicut aliqua eius pars quae rarefiet secundum quamlibet eius partem; ergo continue rarefiet AB linea ita tarde sicut iam incipit rarefieri, huic dicitur concedendo consequentiam, negando antecedens pro prima parte illius antecedentis, hanc videlicet propositionem quod continue rarefiet aliqua pars secundum se et quamlibet eius partem ita tarde sicut iam incipit AB rarefieri.
Et ad argumentum, quando arguitur quod sic, quia infinita tarditate continue rarefiet aliqua secundum quamlibet eius partem sicut iam incipit tota AB linea rarefieri, quia non tardius quam infinita tarditate potest aliquid rarefieri seu incipere rarefieri, huic dicitur negando illam consequentiam. Sicut enim prius dicebatur satis diffuse, infinita tarditate rarefiet aliqua pars secundum quamlibet sui partem quae aeque velociter rarefit sicut una quae rarefit tanto gradu velocitatis, demonstrato quocumque gradu terminato, saltem illud est satis imaginabile; ideo et cetera.
Ad aliam formam, quando replicatur [160ra] probando eandem consequentiam quam prius, scilicet quod illa AB linea non erit in fine totius horae in duplo maior quam in principio, quia sequitur si tota AB linea rarefieret D gradu velocitatis tunc ipsa acquireret praecise duplam quantitatem, sed iam non acquiret tantam sicut tunc acquiret; ergo A non erit in fine in duplo maior quam in principio, huic dicitur de virtute sermonis, scilicet quod AB linea nullam quantitatem sibi acquiret quamvis ipsa sic rarefiat: quia illa nihil acquiret, sed illa maiorabitur eo quod eius extrema plus distabunt, tamen nihil novum adveniet quod ista prius non habuit; ideo nihil acquiret.
Et dicitur quod in fine erit in duplo maior quam in principio sicut foret si ipsa rarefiat continue uniformiter per totam eandem horam E gradu velocitatis qui est gradus totius latitudinis secundum quam intendetur motus localis ipsius AB lineae.
Et quando arguitur quod si[c], quia si AB linea erit tantum rarefacta per illum motum difformem sicut ista foret per E gradum uniformem in eodem tempore, sequitur quod in quacumque proportione ille motus difformis erit tardius in prima medietate illius horae quam ille E gradus uniformis quod in eadem proportione ille motus difformis sit velocior illo E gradu uniformi in secunda medietate illius horae, huic dicitur quod hoc est impossibile, et negatur ista consequentia tamquam talis cuius antecedens est verum et consequens impossibile. Non enim requiritur quod in eadem proportione sit ille motus difformis intensior E gradu in qua proportione erat prius eodem remissior, sed sufficit quod tantam latitudinem habebit ille motus supra E gradum per quantam latitudinem aliquando fuit sub eodem gradu, et hoc est verum: quia tanta latitudo est inter E gradum et E gradum quanta est inter E gradum et quietem.
Aliter enim foret C gradus medius gradus totius latitudinis incipientis a quiete et terminantis ad E gradum: quia, sicut notum est, dato aliquo puncto in linea recta qui inaequaliter distat ab extremis eiusdem lineae, ille punctus non est medius totius lineae, et consimiliter est in proposito, scilicet dato aliquo gradu intrinseco in ista latitudine, si ille gradus non tantum praecise distet ab E gradu sicut a quiete, ille gradus non est gradus medius totius latitudinis terminatae ad E gradum, et universaliter cuiuslibet latitudinis incipientis a quiete et terminatae ad aliquem gradum inclusive vel exclusive gradus medius est praecise subduplus ad gradum ad quem terminatur tota latitudo illa et loquendo proprie de illa latitudine quae est uniformis latitudo. Aliter enim non dicitur aliquid proprier esse latitudinem nisi uniformiter sit latitudo et res ipsa est uniformiter difformis, tamen est latitudo uniformis.
Motus enim caeli est uniformis latitudo, et tamen est res uniformiter difformis, posito quod motus ille sit accidens extensum per totum caelum intensius et remissius, prout partes caeli tardius et velocius moventur. Caliditas etiam uniformiter difformis habens quemlibet gradum citra summum est uniformis latitudo, ipsa tamen res est uniformiter difformis, sicut notum est, et sicut est de illa latitudine, sic est de quacumque latitudine quae simul movetur secundum quemlibet eius gradum in tali subiecto vel in tali.
Alio modo dicitur etiam latitudo ut in motu locali, scilicet quando mobile movetur continue velocius et velocius continue intendendo motum suum uniformiter a quiete usque ad talem gradum vel talem, et illo modo loquendo de latitudine est verum et etiam concedendum quod illa latitudo est ita intensa sicut aliquis gradus illius intrinsecus sive aliqua eius pars, numquam tamen erit ita quod latitudo erit intensa ita sicut erit aliquis gradus illius, et hoc si fiat intensio usque ad aliquem gradum exclusive et non inclusive, et tunc erit iste totus motus correspondens gradui suo medio totius latitudinis et uni motui uniformi qui duraret per aequale tempus uniformi [160rb] gradu medio totius latitudinis sicut acquiretur tota latitudo, et numquam erit totus ille motus difformis gradu tali medio aequalis nisi in medio instanti totius horae.
Continue enim ante erit ille remissior illo gradu, et continue post illud instans medium erit ille totus motus intensior gradu suo medio; et ideo numquam erit totalis motus difformis aequalis illi motui uniformi cui correspondet nisi per unum instans tantum, scilicet per medium instans totius temporis in quo sic uniformiter intendetur.
Et pro tanto dicitur totus ille motus difformis correspondere illi motui uniformi: quia maximum spacium pertransitum per totum illum motum difformem in fine istius horae erit aequale ceteris paribus maximo spacio pertransito, tunc ab illo motu uniformi qui est sub gradu medio totius motus difformis, et sicut etiam dictum est, ille etiam gradus medius totius motus uniformiter difformis incipientis a quiete uniformiter est praecise subduplus ad illum gradum ad quem terminatur totus ille motus difformis sive inclusive sive exclusive, et causa est illa.
Requiritur enim quod ille gradus aequaliter distet ab illo gradu ad quem terminatur totus ille motus difformis seu illa latitudo sic uniformiter acquirenda, quae eadem est cum illo motu difformi et e contra, sicut idem gradus distet a quiete, id est quod tanta erit latitudo ab illo gradu medio ad illum gradum terminantem totalem latitudinem seu totum motum sicut inter illum gradum medium et quietem, sed nullus est gradus ille nisi iste qui est praecise subduplus; igitur et cetera.
Assumptum arguitur quod iste sit subduplus. Probo: quia quibuscumque tribus proportionalibus proportione dupla signatur latitudo vel distanti vel excessus quae omnia sunt idem ad propositum inter duo maiora illorum est latitudo dupla ad latitudinem inter duo minora, ut patet in his tribus terminis ‘octo’, ‘quattuor’, ‘duo’. Notum est enim quod isti sunt numeri continue proportionales proportione dupla. Proportio enim octo ad quattuor est dupla, et quattuor ad duo dupla. Latitudo enim inter octo et quattuor est dupla ad latitudinem inter quattuor et duo, sicut quaternarius ad binarium est duplus; ergo et cetera.
Sed universaliter quod est praecise duplum ad aliud est aequale uni composito ex subduplo et ex omnibus continue proportionibus proportione dupla sub illa, sicut prima pars proportionalis est praecise dupla ad secundam et aequalis composito ex secunda parte proportionali et omnibus partibus aliis proportionalibus subduplis. Est enim prima pars proportionalis aequalis secundae medietati totius cuius est prima pars proportionalis; ergo sequitur quod signata tota latitudine a quiete usque ad E gradum, sicut ponitur in principali argumento, et C gradu subduplo ad C, [quod] E est gradus medius totius.
Probatio: quia tota latitudo inter E et C est dupla ad totam latitudinem inter E gradum et subduplum gradum ad E, sicut prima pars proportionalis est dupla ad secundam, et consimiliter erit continue dividendo totam latitudinem sub C gradu per gradus subduplos, sicut dividitur tota secunda medietas alicuius continui in partes proportionales; ergo sicut punctus terminans primam partem proportionalem alicuius est punctus medius totius cuius est illa prima pars proportionalis, sic C gradus, cum ille terminet primam partem proportionalem totius latitudinis datae, erit gradus medius totius latitudinis datae, et ille est gradus subduplus ad E gradum terminantem totam latitudinem; ergo gradus subduplus ad E gradum terminantem totam latitudinem erit medius gradus totius latitudinis: quia ille aequaliter distat ab uno extremo latitudinis sicut a reliquo.
Et sicut arguitur in illa latitudine probando quod gradus talis sit medius, ita universaliter arguitur de omni latitudine uniformi incipiente a quiete.
Ex isto sequitur illa conclusio, scilicet quod est impossibile quod alicuius latitudinis non [160va] terminatae ad quietem sed ad duos gradus exclusive vel inclusive ad unum secundum extremum suum remissius et ad alium secundum extremum suum intensius sit gradus subduplus ad gradum illam latitudinem terminantem uniformem medius gradus totius latitudinis.
Tunc enim formaliter sequitur quod idem gradus foret medius gradus duarum latitudinum inaequalium terminatarum ad eundem gradum exclusive, quod est mere impossibile: quia ille tunc non distaret aequaliter ab utroque extremo latitudinis cuius esset medius gradus.
Et iuxta hoc faciliter credendum quod non valet consequentia ‘qualis est proportio E gradus ad C gradum, talis est proportio C gradus ad D gradum; ergo C est medius gradus inter E et D’. Sit enim, ut prius, E duplus ad C, et C duplus ad D. Quamvis enim C gradus ad medium proportionale inter E et D, non tamen propter hoc sequitur quod ille erit gradus medius inter E et D, ut puta latitudinis inter E et D.
Sicut enim prius est argutum et expresse est declaratum, in numeris E gradus in duplo plus distat a C gradu quam C gradus a D gradu; et ideo gradus medius inter E et D est intensior quam sit C in tota, et illud universaliter est verum in omni latitudine uniformi quae in utroque sui extremo terminatur ad aliquem gradum quod gradus medius totius latitudinis est intensior quam gradus subduplus ad gradum illum ad quem terminatur tota illa latitudo inclusive vel exclusive.
Ex istis etiam sequitur quod non potest esse aliqua latitudo uniformis terminata ad gradum infinitum et quod non potest aliquid intendere motum suum uniformiter a quiete usque ad gradum infinitum. Et causa est manifesta: quia illud claudit opposita. Non enim posset esse aliquis gradus medius totius latitudinis: quia ipsa semper versus gradum infinitum foret
latitudo infinita iuxta istam responsionem, quia semper signatis tribus gradibus proportionalibus continua proportione, verbi gratia dupla latitudo inter duos intensiores illorum est in duplo maior quam latitudo inter duos remissiores illorum; sequitur igitur quod acquisita aliqua parte totius latitudinis infinitae in aliqua parte temporis, ad hoc quod ipsam acquirat totam residuam partem eiusdem latitudinis requiritur tempus infinitum, cum pars ista acquirenda continue maneat infinita; ergo si eandem partem residuam acquiret intendens in aliqua parte temporis finita, sequitur necessario quod non acquiret eam uniformiter continue. Et ita liquet evidenter qualiter claudit opposita quod aliquid in tempore finito acquirat totam latitudinem usque ad gradum infinitum.
Contra istud tamen potest argui sic: aliqua est resistentia cum qua non potest talis motor, demonstrato uno certo, moveri puta resistentiam quae se habet in respectu illius motoris in proportione aequalitatis, et illa resistentia potest continue uniformiter diminui quousque nulla sit resistentia, et continue proportionaliter sicut illa resistentia diminuetur, ita intendetur motus illius motoris uniformiter sicut illa resistentia diminuetur uniformiter ab aliquo gradu resistentiae ad subduplum et subtriplum et subquadruplum, et sic in infinitum.
Sed huic dicitur quod satis formaliter sequitur oppositum. Si enim resistentia deperdetur uniformiter quosque nulla erit in fine horae, sequitur, ceteris paribus, quod ille motus continue intendetur difformiter ab aliquo gradu ad duplum et quadruplum et sic in infinitum; et ideo non procedit argumentum illud, sicut satis liquet intuenti; ergo et cetera.
Aliter arguitur ad sophisma sic: aliquod corpus rarefiet quousque eius quaelibet pars [160vb] proportionalis erit in duplo maior quam ipsa eadem modo est, et tamen in fine eiusdem horae non erit totum ipsum corpus maius quam ipsum erat in principio.
Ponatur enim quod A corpus sit pedalis quantitatis columnaris figurae cuius grossitiei diameter sit policis quantitatis, et quod in prima parte proportionali istius horae quiescentibus omnibus partibus proportionalibus illius praeter primam rarefiet prima uniformiter ita quod in fine eiusdem partis proportionalis istius horae erit illa in duplo maior quam illa iam est tam secundum longitudinem quam secundum grossitiem, deinde in secunda parte proportionali rarefiet secunda, consimiliter quiescentibus aliis ipsum sequentibus sicut prius rarefiebat prima, quousque etiam ipsa secunda in fine ipsius secundae partis proportionalis illius horae erit in duplo maior quam in principio fuit eadem, et sic consimiliter ponitur in singulis partibus proportionalibus istius horae, cum hoc etiam ponatur quod quando secunda pars proportionalis rarefiat quod tunc condensetur una medietas primae partis proportionalis ita quod illa secunda pars proportionalis fuerit tantum rarefacta sicut illa rarefiet, ut puta in fine secundae partis proportionalis istius horae, et etiam quod una medietas primae partis proportionalis quae prius rarefiet erit ita tanta praecise sicut illa erat in principio qua tota quiescente secundum omnia sua puncta consimiliter omnino condensetur altera medietas secundae partis proportionalis tunc rarefactae quousque ipsa medietas erit consimiliter disposita per omnia sicut in principio, et hoc dum rarefiat tertia pars proportionalis totius A corporis.
Sit enim totum A corpus, et sic de singulis partibus proportionalibus sequentibus sicut iam suppositum est de istis. Quo posito, arguitur quod A in fine totius horae non erit maius quam in principio, quod tamen repugnat casui.
Et arguitur sic: si A erit maius in fine quam in principio, sequitur quod ipsum in aliqua proportione erit maius in fine quam in principio.
Sed arguitur quod non: quia non in dupla proportione praecise nec in minori quam in dupla, sicut patet intuenti per casum, quia si nulla foret condensatio alicuius partis ipsius A cum aliis partibus iuxta casum positum, foret A in fine in duplo maius quam ipsum fuit in principio. Augebitur enim iuxta istum casum quaelibet pars proportionalis ipsius quousque illa erit in duplo longior quam prius, et etiam in duplo latior, ita breviter quod eius diameter secundum suam grossitiem erit in duplo longior quam prius. Sed notum est duplicata diametro alicuius quadrati ad diametrum alterius est quadratum illud cuius diameter est duplicata quadruplum ad aliud quadratum respectu cuius diameter est dupla; ergo cum ponitur esse talis figurae quadrangularis, sequitur quod quaelibet diameter alicuius partis proportionalis secundum grossitiem est duplicata et ipsa existente in duplo longiori quam prius quod totum A erit quadruplum ad illud quod erat in principio.
Consequentia patet intuenti. Sequitur igitur quod tunc fiet A in fine quadripedalis quantitatis: quia in principio ipsum erat pedalis quantitatis; ergo per istam rarefactionem acquiret tripedalem quantitatem de novo, sed per condensationem deperdet totum A praecise medietatem totius quantitatis quam tunc acquiret; ergo iam habebit A in fine ultra illud quod habuit in principio pedalem quantitatem et semipedalem quantitatem de novo acquisitam, et si sic; ergo totum A in fine continebit bipedalem quantitatem et semipedalem quantitatem, et si sic; ergo in fine non erit in duplo maius quam in principio, sed in proportione dupla sexqualtera erit maius quam ipsum fuit in principio, quaecumque prius accepta satis expresse sequuntur cum casu vel sunt per se necessaria.
Sequitur igitur ex casu quod A non erit maius in fine quam erat in principio in proportione praecise dupla nec minori quam dupla, sed maiori quam dupla.
Sed arguitur quod non: [161ra] quia si A rarefiat sicut iam positum est sine aliqua condensatione ceteris paribus, ipsum si erit quadruplum ad hoc quod ipsum fuit in principio vel saltem aliquod aequale illi cui A fuit aequale in principio, sed per condensationem appositam in duplo minus praecise A maiorabitur quam deducta eadem condensatione; ergo deducta condensatione fieret A in fine praecise quadruplum; ergo ipsa apposita fieret A praecise duplum.
Consequentia patet, et antecedens arguitur sic, scilicet quod A maiorabitur in duplo minus praecise quam si nulla foret condensatio in aliqua sui parte: quia si illa tota condensatio foret continue in duplo maior praecise quam illa modo est ita quod continue aeque velociter condensaretur utraque medietas partis rarefactae sicut iam condensatur una medietas illius, tunc in fine fieret A praecise aequale sicut fuit in principio. Et arguitur tunc sic: deducta enim condensatione fieret praecise quadruplum, et apposita tota condensatione, scilicet utriusque medietatis, fieret A aequale praecise sicut in principio; ergo remanente medietate totius condensationis fiet A praecise duplum ad illud quod erat in principio.
Consequentia arguitur: quia medietas totalis condensationis dimunet in duplo minus praecise quam tota condensatio faceret; ergo et cetera.
Consimiliter arguitur sic: illa condensatio est praecise subdupla ad illam rarefactionem, quia si illa foret in duplo velocior quam modo ponitur per aequale tempus, tunc illa foret aequalis illi rarefactioni; ergo sicut illa rarefactio faceret A esse quadruplum in fine ad illud quod ipsum erat in principio, sic illa condensatio faceret A esse subduplum ad hoc quod erat in principio. Similiter propter hanc condensationem erit A tantum in fine praecise si ipsum foret ceteris paribus si quaelibet eius pars proportionalis in duplo minus praecise rarefieret sine aliqua condensatione alicuius partis illius quam modo rarefiet eadem pars. Sed si quaelibet pars proportionalis illius A rarefiet in duplo minus praecise quam eadem iam rarefiet deducta condensatione et ceteris aliis paribus, sequitur quod A in fine fiet praecise duplum ad illud quod ipsum erat in principio; ergo A modo fieret in duplo maius praecise quam ipsum erat in principio.
Praeterea arguitur in casu isto sic: si A sic rarefieret; ergo in fine totius horae erit quaelibet superficies ipsius A terminans A ex transverso quae aequaliter secundum omnia sua puncta distat ab A duabus superficiebus extremis totius A terminantibus A ex transverso maior quam fuit eadem superficies in principio; ergo in fine horae erit etiam extrema superficies totius A ex transverso maior quam fuit eadem in principio.
Consequentia patet in casu licet illa non sit formalis nec bona simpliciter. Sequitur enim ex casu quod in aliqua proportione tanta erit quaelibet talis citra illam maior quam fuit eadem in principio. Et ex isto bene sequitur formaliter quod in fine erit talis superficies terminans A ex transverso maior quam ipsa erat in principio vel saltem maior quam fuit superficies terminans A in principio.
Sed arguitur quod non: quia continue ante illud instans erit illa superficies tanta praecise sicut iam fuit in principio, et in illo instanti non acquiret illam totam quantitatem subito, quia illa tunc quiescet secundum se et quemlibet eius punctum, ut suppono. Ponitur enim quod tunc quiescat punctus quilibet huius A. Quo posito, arguitur sic: illa superficies iam quiescit, demonstrata illa quae tunc terminabit totum A, et continue ante illud instans quiescit haec superficies vel saltem in nullo instanti ante illud instans maiorabitur haec superficies; ergo illa non est maior quam fuit in principio.
Ista consequentia est bona et erit bona sic significando in fine totius horae; ergo in fine totius horae erit ita quod illa superficies non est maior quam illa fuit in principio, et si sic; ergo superficies terminans sic totum A ex parte ista non erit maior quam fuit in principio, quod fuit probandum.
Similiter: si ista superficies tunc [161rb] erit in aliqua proportione maior quam prius, sequitur illud impossibile, scilicet quod aliquis est punctus qui continue ante hoc instans quod est praesens distabat ab illa superficie per tantam quantitatem, demonstrata una certa quantitate, et tamen iam tangit ille punctus illam superficiem.
Quod hoc sit impossibile satis apparet: quia tunc sequitur quod ibi fuisset motus localis, et motus subitus, quod claudit opposita in omni casu. Sequitur enim quod talis motus sit motus et quod ille non sit motus, et non est possibile quod aliquid movebatur localiter nisi ipsum movebatur per tempus. Si enim tale movebatur localiter; ergo ipsum vel aliqua pars illius prius pertransivit aliquam distantiam, et si sic; ergo ipsum vel aliqua pars illius prius pertransivit partem illius distantiae quam totam illam distantiam.
Quod enim iam sit aliquis punctus hic qui immediate post instans quod est praesens erit ibi vel ibi, in illo situ vel in illo, formaliter claudit opposita. Ideo satis apparet quod illa conclusio est impossibilis.
Et quod illa sequatur arguitur sic: quia signato aliquo puncto continue quiescente in aere qui in fine istius horae erit immediatus alicui puncto extremo illius superficiei terminantis totum A corpus tunc ex transverso, quo dato, arguitur sic: continue ante finem istius horae distabit ille punctus a superficie per tantam distantiam quanta tunc erit addita vel acquisita illi superficiei de novo, et tunc ille punctus erit immediatus illi superficiei; ergo et cetera.
Antecedens arguitur: quia in principio distabit ille punctus ab alia superficie extrema per tantam quantitatem, et etiam ab extremo istius corporis, quod idem est, et continue postea quievit ille punctus usque in praesens instans, per casum, et similiter illud extremum continue remansit non maioratum omnino nec motum versus illum punctum, sicut ponitur etiam in casu. Ponitur enim quod numquam rarefiat aliqua pars proportionalis posterior antequam quaelibet ipsarum praecedens sit complete rarefacta; ergo et cetera.
Praeterea arguitur in casu principali sic: per aliquod tempus maiorabitur, et per aliquod tempus non maiorabitur; ergo est dare maximum per quod A maiorabitur vel minimum per quod non maiorabitur.
Quod valeat ista divisio arguitur sic: quia quandocumque A maiorabitur, tunc erit ita quod A maioratur, et quandocumque A non maiorabitur, tunc erit ita quod A non maioratur; signetur ergo haec propositio ‘A maioratur’ quae significet sic praecise per totum tempus per quod A erit, et signetur totum tempus per quod ipsa erit vera antequam erit falsa, et illud erit maximum tempus per quod A maiorabitur, quia per illud tempus A maiorabitur et non ulterius; ergo illud erit maximum, et si sic; ergo est dare maximum tempus per quod A maiorabitur vel minimum per quod non maiorabitur.
Si conceditur divisio, contra arguitur sic quod illa divisio non valet vel quod simul erit dare maximum tempus per quod A maiorabitur et etiam maximum per quod non maiorabitur, quod claudit opposita iuxta vulgarem intellectum.
Et consequentia arguitur: quia, sicut prius arguebatur, erit dare maximum tempus per quod A maiorabitur, quia erit dare maximum tempus per quod haec propositio erit vera ‘A maioratur’, quia ex quo haec propositio aliquando erit vera et postea erit falsa, illa aliquando incipiet esse falsa. Et signato tunc illo instanti in quo illa propositio incipiet esse falsa, sequitur quod totum tempus medium inter praesens instans et illud instans erit maximum tempus per quod A maiorabitur.
Et arguitur quod erit dare maximum tempus per quod A non maiorabitur: quia signato toto tempore aeterno, illud erit maximum tempus per quod A non maiorabitur.
Probatur: quia illud erit maximum tempus, et per illud non maiorabitur A; ergo illud erit maximum tempus per quod A non maiorabitur.
Similiter: hoc tempus per quod A non maiorabitur erit maximum tempus; ergo hoc erit maximum tempus per quod A non maiorabitur.
[161va] Similiter: hoc erit magnum tempus per quod non maiorabitur A, et nullum erit maius per quod A non maiorabitur; ergo hoc erit maximum tempus per quod A non maiorabitur. Consequentia haec arguitur: quia sequitur si per tempus maiorabitur A, et per nullum tempus maius maiorabitur A; ergo hoc erit maximum tempus per quod non maiorabitur A; ergo sicut valet haec consequentia, etiam sic valebit haec consequentia penultima; ergo simul erit dare maximum tempus per quod A maiorabitur et maximum tempus per quod non maiorabitur A, quae sicut prius videtur repugnare, quia sequitur ‘hoc erit maximum tempus per quod non maiorabitur A; ergo per hoc tempus non maiorabitur A, et per quodlibet tempus minus illo maiorabitur A’, consequens est mere impossibile.
Similiter: illa duo tempora quorum unum est maximum per quod maiorabitur A et aliud est maximum per quod non maiorabitur A vel sunt aequalia vel inaequalia. Si aequalia, tunc per illud tempus maiorabitur A et non maiorabitur A, quod est impossibile. Tunc si sint inaequalia, tunc maximum per quod et cetera est maius quam maximum per quod non erit vel e converso. Si primo modo, sequitur quod A maiorabitur per maius tempus et non per minus tempus, quod est impossibile. Si secundo modo, adhuc sequitur idem quod sicut prius argutum est: hoc est maximum tempus per quod A non maiorabitur; ergo per hoc tempus A non maiorabitur et per quodlibet tempus maius A maiorabitur, et si sic; ergo A maiorabitur per maius tempus et non per minus, quod est impossibile, ut prius argutum est.
Ideo forte dicitur, sicut est dicendum de virtute sermonis, quod non valet consequentia vulgariter concessa ‘hoc est maximum tempus per quod A non maiorabitur; ergo per hoc tempus A non maiorabitur et per quodlibet tempus maius isto A maiorabitur’. Ex isto enim antecedente non sequitur de virtute sermonis nec quod A est nec quod A erit vel fuit; ideo non sequitur ex isto antecedente quod per quodlibet maius tempus seu quod per aliquod tempus maiorabitur A. Ideo conceditur forte de virtute sermonis quod aliquod erit maximum tempus per quod A maiorabitur in casu illo et etiam maximum tempus per quod A non maiorabitur, et illud est totum tempus aeternum.
Sed arguitur contra istam responsionem probando quod non erit dare maximum tempus per quod A maiorabitur: quia illud non erit in casu posito tota illa hora, quia ipsum A non maiorabitur per totam istam horam.
Probatur: quia tunc sequeretur quod per totam istam horam erit ita quod est maius quam prius fuit.
Sed arguitur quod non: quia postquam prima pars proportionalis A fuerit complete rarefacta numquam maiorabitur nec umquam erit ita post medium instans totius horae quod A est maius quam prius.
Probatur: quia continue postquam aliqua pars istius A incipit condensari ita velociter vel velocius condensabitur totum A sicut aliqua pars eius rarefiet; ergo ab illo instanti ultra non maiorabitur totum A.
Consequentia ista satis patet per casum, et assumptum arguitur: quia tantum condensabitur de A post illud instans quantum rarefiet de A post illud instans.
Probatur: quia A non plus acquiret per rarefactionem post instans medium quam ipsum deperdet per condensationem; ergo breviter A non maiorabitur per secundam medietatem illius horae.
Et assumptum satis apparet ex casu: quia per condensationem in illa secunda medietate deperdet A medietatem totius quantitatis quam acquiret in prima medietate illius horae, et etiam medietatem totius quantitatis acquirendae in secunda medietate huius horae, quia quamcumque quantitatem maximam acquiret aliqua pars proportionalis ipsi A post instans medium in parte proportionali eiusdem horae praecedenti eiusdem medietatem deperdet in proxima parte proportionali eiusdem horae sequenti, et si sic; ergo A non maiorabitur per secundam medietatem.
Ideo dicitur, sicut est dicendum, concedendo conclusionem, scilicet quod prima medietas illius horae erit maximum tempus per quod maiorabitur A in casu.
Sed contra: quaelibet pars proportionalis illius A alia a prima in duplo velocius rarefiet per aequale tempus quam condensabitur pars proportionalis [161vb] ipsam immediate praecedentis. Dum enim condensabitur illa quae iam est prima rarefiet illa quae est secunda, et maiorabitur velocius quam condensabitur prima.
Quod arguitur sic: quia illa secunda fiet quadrupla ad hoc quod ipsa erit in principio eiusdem partis proportionalis illius horae, sed prima non fiet nisi subdupla ad hoc quod ipsa erat in principio eiusdem partis proportionalis eiusdem horae; ergo tunc secunda rarefiet in duplo velocius quam condensabitur prima. Et sic universaliter arguitur de qualibet parte proportionali sequenti secundam quod ipsa in duplo velocius rarefiet quam ipsa condensabitur seu aliqua ipsam praecedens, et si sic; ergo cum quaelibet illarum partium proportionalium in duplo velocius rarefiet et maiorabitur quam aliqua illarum condensabitur, sequitur quod totum A continue per totam horam maiorabitur sicut continue maiorabitur aliqua eius pars proportionalis.
Praeterea: si continue rarefient duae partes proportionales ipsius A dum condensaretur una praecedens tantum, ut dicitur in casu supposito, dum condensetur prima rarefiet secunda et tertia consimiliter omnino sicut et prius dum condensetur secunda rarefieret quarta et quinta, et sic in infinitum, tunc A maiorabitur per totam istam horam, sed tantum praecise maiorabitur A in primo casu supposito sicut isto modo; ergo et in primo casu maiorabitur per totam istam horam.
Consequentia patet, et assumptum arguitur: quia tunc tantum praecise maiorabitur A sicut modo et e contra, quia quamcumque quantitatem quam tunc acquiret aliqua pars proportionalis ipsius A consimilem, et aequalem praecise acquiret eadem pars in primo casu. Quaelibet enim tunc rarefiet praecise ad quadruplum sicut et modo faciet; ergo tantum praecise maiorabitur tunc quaelibet pars sicut et modo maiorabitur eadem, et si sic; ergo tantum praecise tunc maiorabitur totum A sicut ipsum tunc maiorabitur, quod erat probandum.
Ad haec respondetur, primo ad casum, cum ponitur ille casus principalis, dicendo quod ille casus non est admittendus, sicut nec aliquis qui sit impossibilis: [quia] ex toto illo casu sequitur illud impossibile, scilicet quod aliquis punctus distat ab A per tantam quantitatem, demonstrata una certa distantia, et tamen immediate ante instans quod est praesens distavit idem punctus ab A in duplo et in quadruplo minus et sic deinceps quam idem punctus iam distat ab A.
Signato enim uno puncto in aere continue quiescente qui aequaliter distet praecise ab illo puncto medio extremae superficiei ipsius A versus quam sunt partes proportionales ipsius A minores sicut distat consimilis punctus ex parte opposita quiescens in aere immediate ab eodem puncto medio illius superficiei ultimae terminantis totum A, et sequitur tunc quod ille punctus primo signatus nunc distat ab isto per tantam distantiam quanta est ista medietas ipsius A tunc condensata minor alia eius medietate tunc non condensata, sed illud est impossibile.
Sequitur enim ex illo, ut prius argutum est, quod infinitae velocitatis erit aliquis motus localis, et hoc est impossibile, tamen illud non formaliter claudit opposita, saltem expresse. Quamvis enim sequatur quod infinitae velocitatis erit ibidem aliquis motus localis, non tamen sequitur quod aliquis motus localis erit infinitae velocitatis, sicut dicetur in respondendo. Et ideo gratia disputationis potest admitti totus casus tamquam imaginabilis et non tamquam possibilis, et consimiliter respondendum est ad sequentia ex illo ipsa concedendo tamquam imaginabilia: quia non expresse claudunt contradictionem, sed non tamquam possibilia asserantur.
Unde notum est quod multa sunt imaginabilia quae non sunt possibilia, sicut vacuum esse et hominem esse immortalem, et sic de talibus. Ideo admittatur casus principalis respondendo ad consequentiam sicut iam dictum est.
Et ad argumentum, videndum est quae consequuntur et quae non. Unde quando arguitur quod A primo in fine ipsius horae non erit maius quam in principio, dicitur negando illam, et conceditur quod in fine illius horae erit A in dupla sexquialtera proportione maius quam in principio, sicut probant argumenta facta pro ista parte.
Et ad argumentum contra illam partem, [162ra] quando arguitur quod totum A iam maiorabitur in duplo minus praecise quam ipsum maiorabitur deducta tota condensatione, nam deducta tota condensatione fieret totum A in fine illius horae praecise in quadruplo maius quam in principio; ergo remanente illa condensatione fit A praecise in duplo maius quam in principio, huic dicitur negando consequentiam.
Et causa est quia licet A in fine fieret sic quadruplum, ipsum tamen in tota hora non acquiret quadruplam quantitatem ad illam quam habuit in principio, sed triplam solummodo ita quod non maiorem; ideo cum A non acquiret in duplo minus praecise quam ipsum tunc acquiret, sequitur quod ipsum nunc acquiret pedalem quantitatem et semipedalem, et ipsum in principio fuit pedalis quantitatis; ergo in fine erit ipsum bipedalis quantitatis et semipedalis, et sic sequeretur expresse quod in fine non erit A praecise duplum ad illud quod ipsum fuit in principio nec aliquod tantum praecise sicut ipsum tunc fuit; patet ergo quod illa consequentia non valet.
Et iuxta hoc conceditur ista conclusio quod aliqua tria sunt aequalia, scilicet A B C, et A rarefiet per eandem horam in duplo velocius praecise quam per eandem horam rarefiet B, et C continue manebit aequale praecise sicut ipsum modo est, et in fine illius horae erit A in quadruplo maius quam C praecise, et tamen ceteris paribus omnibus quantum est possibile in fine illius horae A non erit praecise duplum ad B, sed duplum sexquialterum. Ponitur enim quod quodlibet istorum sit in principio pedalis quantitatis tantum, et quod A sic rarefiat in ista hora quod ipsum sibi acquirat tripedalem quantitatem de novo ita quod ipsum in fine erit quadruplum, et quod B sic rarefiat quod ipsum acquirat pedalem et semipedalem de novo, quibus positis et C continue quiescente sequitur conclusio; ideo et cetera.
Per hoc respondetur ad secundam formam huius reductionis, quando scilicet arguitur quod quaelibet pars proportionalis A rarefiet in duplo tardius praecise per aequale tempus sicut iam rarefiet eadem pars deducta rarefactione fieret A in fine totius horae in duplo maius quam nunc est, huic dicitur quod sequitur oppositum. Sequitur enim quod tunc fieret A in fine illius horae duplum sexquialterum sic et modo fiet in casu prius posito.
Ad tertiam reductionem istius argumenti principalis, quando arguitur quod casus ille claudit opposita eo quod ex isto sequitur quod aliquis motus localis est subitus, huic dicitur quod non sequitur.
Et ad argumentum, quando arguitur quod in fine illius horae erit ita quod aliquis punctus in aere quiescens iam tangit superficiem aliquam, ut puta extremam ipsius A, et tamen continue ante fine ipsius horae distabit ille punctus ab alia superficie per tantam quantitatem per quantam eadem superficies erit tunc maior quam prius fuit, huic dicitur quod illa superficies non erit tunc maior quam in principio.
Et quando arguitur quod sic, quia tunc tota superficies terminans A ad illud extremum erit multo maior quam fuit superficies illa terminans A adaequate ad aliud extremum in principio, huic dicitur quod hoc est verum, sed illa superficies quae totaliter adaequate terminavit A in illo extremo in principio illius horae non erit totalis superficies adaequate terminans illud extremum in fine illius horae. Sed illa quae in principio terminavit illud extremum adaequate tunc erit terminus superficiei adaequate terminantis illud extremum, et non totaliter terminans A sed partialiter tantum.
Unde aliqua erit tunc pars superficiei totalis adaequate terminantis totum A in illo extremo quae continue prius terminavit infinitas partes proportionales ipsius A ex suis lateribus; et ideo non requiritur quod illa superficies quae in principio terminavit totum A ex parte illa erit maior in fine quam in principio, nec quod inde generetur una nova superficies secundum omnes suas partes, nec secundum aliquod sui punctum.
Sed, ut iam dictum est, illa superficies [162rb] quae prius terminavit infinitas partes proportionales ipsius A ex suis lateribus, tunc terminabit partialiter illud extremum totius A ita quod ex illa parte superficiei et illa superficie quae in principio terminavit A adaequate constituetur una superficies quae in fine totaliter et adaequate terminabit illud idem extremum.
Et ideo quando arguitur quod talis punctus quiescens in aere tunc erit immediatus illi superficiei tunc terminanti adaequate totum A, et continue ante distabat ab illa per tantam quantitatem, demonstrata una certa quantitate, dicitur quod minor est neganda, sed aliquando distavit ille punctus per tantam quantitatem ab illa et aliquando in duplo minus et aliquando in quadruplo minus, et sic in infinitum.
Continue enim sicut appropinquavit rarefactio ad illud extremum ita continue minus vel minus distavit ille punctus ab illa superficie, et ita non sequitur conclusio praemissa; sicut tamen superius dictum est et probatum, bene sequitur quod punctus ex opposito illi puncto quiescenti in aere de quo erat sermo tunc distabat ab ipso A per tantam quantitatem, et immediate ante illud instans ita modicum distabat idem punctum ab ipso sicut prior punctus immediate ante illud instans ab illa superficie cui tunc erit ille punctus immediatus, sed ex hoc non sequitur quod aliquis punctus movebitur infinita velocitate nec quod aliquis motus localis erit subitus; sed sequitur quod infinita velocitate movebitur idem punctus, et hoc est satis imaginabile, licet non sit possibile; ideo et cetera.
Ad ultimam reductionem principalis argumenti, quando arguitur quod nec est dare maximum tempus per quod A maiorabitur nec minus per quod A non maiorabitur, huic dicitur sicut ibidem erat tactum quod erit dare maximum tempus per quod A maiorabitur, et conceditur etiam quod est maximum tempus per quod A non maiorabitur, scilicet totum tempus aeternum. Et ultra hoc conceditur de quocumque corruptibili quod aliquod erit maximum tempus per quod illud corruptibile non erit: quia, ut ibidem declaratum est, tempus aeternum erit maximum tempus per quod non erit illud corruptibile vel illud, quocumque demonstrato,
et nullum erit maius per quod non erit illud corruptibile; ergo illud tempus aeternum erit maximum per quod non erit illud corruptibile, quocumque demonstrato.
Et ad argumentum, quando arguitur quod nullum erit maximum tempus per quod A
maiorabitur, quia nec hora nec medietas illius horae mensurantis totam rarefactionem, huic dicitur quod erit prima medietas illius horae. Et ulterius sequitur, quocumque demonstrato, quod durabit per tempus quod aliquod erit maximum tempus per quod ipsum durabit, et si hoc faciet sic vel sic vel fiet aliquid huiusmodi per tempus, aliquod erit maximum tempus per quod sic faciet vel sic aut fiet vel erit sic vel sic.
Ad argumentum, quando arguitur quod A maiorabitur per totam horam, quia quaelibet pars proportionalis posterius rarefienda in duplo velocius rarefiet quam condensabitur proxima antecedens ipsam; ergo per totam secundam medietatem tota categorematice rarefiet, huic dicitur quod non valet ista consequentia.
Non obstante enim quod secunda pars proportionalis per idem tempus rarefiet in duplo velocius quam condensabitur prima per idem tempus, quia tamen prima pars proportionalis erit in duplo maior vel fieret tunc in duplo maior ceteris paribus; ideo tantum proportionaliter praecise deperdetur per condensationem quantum acquiretur per rarefactionem, et sic deinceps; et ideo continue post medium instans totius horae manebit A tantum praecise sicut ipsum erit in illo instanti medio, et sic non maiorabitur A nisi per primam medietatem illius horae, sicut probavit argumentum prius factum ad illam conclusionem.
Et ad secundam formam, quando arguitur quod si continue rarefierent duae partes proportionales [162va] per illud tempus quo iam rarefiet una tantum acquireretur per idem tempus praecise sicut acquirent eaedem duae in duabus partibus proportionalibus illius horae, quibus illae nunc rarefierent et continue cum hoc condensaretur quaecumque pars, consimiliter omnino sicut eadem iam condensabitur, tunc continue maiorabitur totum A per totam secundam medietatem illius horae, huic dicitur breviter negando istam consequentiam. Sed hoc posito, bene sequitur quod A maioraretur per totam primam partem proportionalem totius horae, sed non diutius.
Et causa est quia licet dum condensaretur secunda pars proportionalis, rarefierent et aliae partes proportionales, ut puta quarta et quinta, tunc totum compositum ex parte quarta proportionali et quinta non est subduplum ad secundam partem proportionalem sed minus quam subduplum, sicut patet intuenti; et ideo non tantum proportionaliter acquireret toti A simpliciter per rarefactionem illarum duarum partium proportionalium sicut deperderetur respectu totius A per condensationem respectu secundae partis proportionalis in eadem parte proportionali totius horae, et sic universaliter argui potest de quibuscumque partibus proportionalibus sequentibus, sicut iam est argutum de illis.
Et ideo posito casu non sequitur quod A maiorabitur per totam istam horam, sed solummodo per primam partem proportionalem et secundam illius horae, unde tantum foret A in fine totius horae ceteris paribus sicut in principio, ut patet in primo casu.
Sed forte adhuc arguitur contra primam responsionem datam, scilicet admittendo casum illum qui dicebatur impossibilis: quia qua ratione admittitur iste casus, sequitur quod foret etiam admittendum quod A sic omnino rarefieret sicut iam positum est ipsum rarefieri et quod ipsum condensaretur in duplo velocius quam ponitur ipsum modo condensari, ita quod in fine totius horae erit ipsum aequale omnino sicut ipsum fuit in principio, et consimiliter factum, et sic de aliis circumstantiis quas habuit in principio, et tunc sequitur quod quaelibet superficies adaequate terminans aliquam partem proportionalem ipsius A secundum illam combinationem fiet in quadruplo maior quam ipsa fuit in principio, et tamen illa extrema superficies quae in fine terminabit totum A continue erit tanta praecise sicut ipsa fuit in principio, quod est impossibile, et quod ita foret de praesenti formaliter claudit opposita.
Et sequitur etiam quod infinita velocitate movebitur A: quia ita velociter movebitur A, sicut aliqua eius pars proportionalis movebitur, et infinita velocitate movebitur aliqua pars proportionalis ipsius A; ergo infinita velocitate movebitur totum A, et si sic; ergo aliquis motus localis erit infinitae velocitatis, quod claudit opposita.
Huic dicitur sicut prius quod primus casus non admittebatur tamquam possibilis, sed tamquam imaginabilis, et non expresse claudens contradictionem. Et similiter potest admitti iste casus iam praemissus, et conceditur totum quod ponitur usque ad ultimam consequentiam, quando scilicet arguitur quod si infinita velocitate movebitur A localiter motus localis ipsius A erit infinitae velocitatis, dicitur, sicut alias frequenter dictum est, quod non valet ista consequentia, sed conceditur quod infinitae velocitatis erit aliquis motus localis ipsius A; unde non sequitur ‘infinitae velocitatis erit iste motus; ergo iste motus erit infinitae velocitatis’.
Sequitur enim si iste motus erit infinitae velocitatis; ergo in aliquo instanti erit iste motus infinitae velocitatis, quod est mere impossibile. Sequitur enim tunc quod iste motus erit localis et quod non erit successivus, quae formaliter repugnant; et ideo non valet ista consequentia cum antecedens sit imaginabile et consequens imaginabile.
Unde breviter quilibet casus qui non claudit contradictionem formaliter seu tale impossibile quod non bene potest imaginari, sicut hominem esse asinum vel huiusmodi, satis potest admitti gratia disputationis, primo tamen haberet respondens exprimere impossibilitatem talis casus ostendendo quod ipse non admittit istum casum tamquam possibilem, [162vb] sed tamquam imaginabilem ad sustinendum sequentia ex illa tamquam imaginabilia et non tamquam possibilia, et ad negandum repugnantia tamquam obligatus.
Aliter arguitur ad sophisma sic: aliqua est linea quae rarefiet per totam C horam altero extremo eius continue quiescente, et tamen quaelibet eius punctus qui movebitur in ista hora aeque velociter movebitur in eadem hora sicut aliquis punctus illius.
Quod arguitur sic: posito enim quod AB linea sit una linea pedalis quantitatis cuius unum extremum sit A et aliud B. Ponitur etiam quod illa incipiat rarefieri ab A extremo quiescente B puncto per totam horam C incipiendo ab hoc instanti quod est praesens, et incipiat illa linea moveri secundum totam latitudinem motus localis quae est a D gradu usque ad quietem sic quod iam incipiat A punctus moveri illo D gradu exclusive continue remittendo motum suum uniformiter usque ad quietem et proportionaliter sicut ipse A punctus incipit remittere motum suum sic intendat quilibet alius punctus primae partis proportionalis motum suum quousque idem punctus moveatur D gradu velocitatis, et ita cito sicut aliquis illorum movebitur D gradu quod tunc incipiat idem punctus remittere motum suum, quem idem punctus intendit ita quod in instanti medio movebitur ille punctus qui iam est medius D gradu et sic proportionaliter intendet quilibet alius punctus citra B motum suum ita quod semper in fine partis proportionalis totius horae moveatur idem punctus in duplo velocius quam in principio eiusdem partis proportionalis movebatur idem punctus quousque ille acquisiverit D gradum, sed ita cito sicut habuit D gradum ipse uniformiter remittat sicut ipse prius intendebat.
Quibus positis, arguitur prima pars conclusionis propositae: quia, sicut notum est, quilibet punctus intrinsecus illius lineae movebitur in casu illo ita velociter sicut aliquis punctus intrinsecus, quia quilibet movebitur D gradu, et nullus movebitur gradu velociori D; ergo ex casu sufficienter sequitur quod quilibet punctus totius lineae alius ab A vel B puncto movebitur ita velociter sicut aliquis punctus totius lineae.
Et arguitur quod A punctus movebitur ita velociter sicut aliquis illorum: quia A punctus incipit moveri velocius quam aliquis illorum incipiat moveri, et nullus est punctus totius AB lineae alius ab A qui ita velociter incipiat moveri sicut A incipit moveri, quia nullus incipit a D gradu exclusive nisi tantum A punctus. Tunc arguitur sic: A punctus incipit velocius moveri quam aliquis illorum incipiat moveri, et numquam movebitur aliquis illorum velocius quam incipiat aliquis illorum moveri, et A movebitur ita velociter sicut A incipit moveri; ergo movebitur ita velociter sicut aliquis illorum vel velocius quam aliquis illorum. Consequentia patet, et antecedens potest argui ex casu pro utraque sui parte. Maior enim ibidem arguitur, et minor probatur, scilicet quod numquam movebitur aliquis illorum velocius
quam incipit aliquis illorum moveri: quia numquam movebitur aliquis velocius D gradu, sed iam incipit aliquis illorum moveri D gradu; ergo et cetera.
Antecedens probatur: quia iam non movetur aliquis illorum D gradu, et immediate post hoc movebitur aliquis illorum D gradu; ergo et cetera. Sequitur ergo quod ita cito movebitur A punctus sicut aliquis illorum, et si sic, sequitur prima conclusio quae in rei veritate repugnat casui.
Praeterea arguitur in casu illo sic: si AB linea sic rarefiet per totam istam horam, sequitur quod cum prima eius medietas continue post instans medium remittet motum suum ita velociter sicut secunda medietas intendit motum suum, et alia pars proportionalis secundae medietatis intendit motum suum ab aliquo gradu ad gradum duplum, et aliqua ad gradum octuplum, et sic in infinitum, sequitur etiam quod prima medietas [163ra] remittet motum suum ab aliquo gradu et ad gradum subduplum et subquadruplum, et sic deinceps, consequens falsum et contra casum: quia non velocius remittet prima medietas AB lineae motum suum in secunda medietate totius horae E quam eius punctus medius intendet motum suum in medietate eiusdem horae, sed ille punctus medius non intendet motum suum nisi ad gradum duplum, per casum; ergo tota prima medietas AB lineae in secunda medietate totius horae non remittet nisi ad gradum subduplum, quia non immediate post ultimum instans intrinsecum totius horae movebitur ille punctus qui iam est motus velocius gradu subduplo ad gradum D.
Similiter ex casu isto sequitur quod in secunda medietate totius horae movebitur quilibet punctus citra B D gradu velocitatis et quod quilibet punctus [c]itra punctum medium totius AB lineae et B punctum ultimum, scilicet totius intendet motum suum ad D gradum velocitatis et remittet et cetera a D gradu usque ad aliquem gradum remissiorem ipso D gradu, et tunc per totam illam secundam medietatem movebitur aliquis punctus illius secundae medietatis AB lineae in centuplo tardiori gradu quam sit D.
Et ex isto casu sequitur quod infinita velocitate intendet aliquis punctus motum suum, et tamen nullus punctus movebitur velociori gradu quam sit D gradus velocitatis, quod apparet falsum et impossibile, cum omnis intensio motus localis sit motus localis et infinita velocitate intendat aliquis punctus motum suum localem; ergo infinita velocitate movebitur aliquis punctus, et sequitur etiam quod immediate ante finem C horae movebitur quilibet punctus secundae medietatis ipsius AB lineae gradu velociori quam sit gradus medius inter D gradum et quietem, et numquam poterit aliquis tardius moveri quam immediate ante fine eiusdem horae movebitur aliquis punctus illius medietatis AB lineae.
Praeterea arguitur in casu principali quod AB linea non rarefiet per totam istam horam, quod tamen manifeste repugnat posito: quia expresse ponitur quod ipsa rarefieret per totam illam horam, et etiam illud expresse sequitur quod unum eius extremum, ut puta A, continue recedet ab altero extremo continue quiescente, ut puta B; ergo tota AB linea continue rarefiet, quia ipsa continue fiet maior et maior; ergo et cetera.
Et quod ipsa non rarefiet per totam horam arguitur sic: quia si ipsa sic rarefiet post continue per totam horam, contra: continue post medium plus considerabitur de AB linea secundum se et quamlibet sui partem quam rarefiet secundum quamlibet sui partem de tota AB linea, et ita velociter continue condensabitur tota pars tunc condensata secundum se et quamlibet sui partem sicut rarefiet aliqua pars totius AB lineae; ergo continue post instans medium condensabitur similiter tota AB linea.
Consequentia patet, et assumptum arguitur. Maior probatur: quia [in] instanti medio erit tota prima medietas condensata secundum se et quamlibet sui partem, sicut notum est, quia tunc velocius insequitur punctus medius A punctum extremum totius AB lineae quam idem A punctus fugiet ab illo puncto medio, et etiam per magnum tempus ante instans medium sic
faciet idem punctus; ergo tunc erit tota prima medietas illius AB lineae condensata, et ita velociter sicut rarefiet secunda condensabitur prima.
Quod arguitur sic: quia eodem gradu quo ille punctus movetur motu rarefactionis recedendo a puncto extremo continue quiescente movetur etiam idem punctus motu condensationis versus A punctum quod est ad extremum totius lineae, et tunc ille punctus erit velocissime motus motu rarefactionis; ergo ita velociter condensabitur tunc tota pars secundum quamlibet sui partem condensatam sicut tunc rarefit tota pars quae secundum quamlibet sui partem rarefiet: quia eisdem gradibus vel velocitatibus quibus rarefiet tunc secunda medietas condensabitur tunc etiam prima medietas, sicut iam est declaratum, et continue sic condensabitur pars maior et maior sicut [163rb] continue erit alius punctus velocissime motus et alius quousque condensetur quaelibet pars totius AB lineae terminata citra B punctum; ergo sicut patet per argumentum non per totam istam horam rarefiet AB linea.
Similiter ad idem arguitur sic: si continue rarefiet tota AB linea per totam horam, et aliquando erit ita quod tota pars AB lineae quae secundum quamlibet sui partem quae condensatur est aequalis toti parti eiusdem quae secundum quamlibet sui partem rarefit, et aliquando erit ita quod tota quae condensatur secundum quamlibet sui partem est dupla ad totam quae rarefit secundum quamlibet eius partem, aliquando in quadruplo maior, et aliquando in octuplo maior, et sic in infinitum; ergo ad hoc quod tota linea continue rarefieret requireretur quod aliquando rarefieret aliqua eius pars velocitate aliqua, et postea alia in duplo velocius, et postea alia in quadruplo velocius, et sic in infinitum, sed iam per casum nulla rarefiet seu movebitur velocius quam D gradu velocitatis; ergo in illo casu AB linea non rarefiet per totam illam horam.
Ad hoc respondetur admittendo casum tamquam satis imaginabilem.
Et ad primum argumentum, quando arguitur quod quilibet punctus citra B ipsius AB lineae movebitur in tota illa hora ita velociter sicut movebitur aliquis punctus eiusdem lineae in tota hora, et tamen continue rarefiet tota AB linea per totam illam horam, huic dicitur quod est satis imaginabile et admittendum sicut casus iam admissus, sed illud repugnat casui posito: quia repugnat casui illo quod A punctus movebitur in illa hora ita velociter sicut aliquis punctus totius lineae movebitur, quia ex casu sequitur quod ille A punctus non movebitur in illa hora D gradu nec gradu ita veloci, et quod quilibet punctus citra B alius ab A movebitur D gradu; ideo negatur in casu illo quod A punctus movebitur ita velociter sicut aliquis punctus totius AB lineae.
Et quando arguitur quod sic, quia A incipit velocius moveri quam incipiat aliquis alius punctus totius AB lineae, huic dicitur negando istam propositionem.
Et quando arguitur quod sic, quia ille punctus incipit aliqualiter velociter moveri, et nullus alius ab illo citra B incipit ita velociter moveri sicut ipse et quilibet alius citra B incipit moveri; ergo ipse A punctus incipit velocius moveri quam aliquis alius incipiat moveri; dicitur negando consequentiam. Et causa est quia nullus alius ab illo incipit ita velociter moveri sicut ille, tamen in praesenti instanti incipit aliquis alius velocius moveri quam ille incipiat moveri. Quod arguitur sic: quia in praesenti instanti non movetur aliquis punctus illius lineae velocius quam A punctus incipit moveri, et immediate post instans quod est praesens movebitur aliquis punctus velocius quam ille incipiat moveri; et ideo A non incipit moveri ita velociter sicut incipit aliquis alius moveri nec velocius a multo fortiori.
Sed forte contra illud arguitur: quia posito quod Socrates et Plato inciperent moveri continue remittendo motus suos aeque velociter a D gradu exclusive ita quod ipsi continue moverentur aeque velociter, sequitur quod Socrates non ita velociter inciperet moveri sicut Plato inciperet moveri nec e contra, quod est manifeste falsum, et quia nec velocius nec tardius incipit Socrates moveri quam Plato incipiat moveri nec e contra.
Et consequentia arguitur sic: quia Socrates non immediate post instans quod est praesens ita velociter movebitur sicut Plato incipit moveri, nec ipse in praesenti instanti ita velociter movetur sicut Plato incipit moveri, quia neuter illorum movetur in praesenti instanti; ergo et cetera.
Similiter: Socrates immediate post instans praesens movebitur tardius quam Plato incipiat moveri; ergo per idem argumentum ipse immediate post instans quod est praesens movebitur tardius quam Plato incipit moveri, et ille iam non movetur tardius quam Plato incipit moveri; ergo iam in praesenti instanti Socrates incipit moveri tardius quam Plato incipit moveri. Ad hoc respondetur et dicitur quod posito illo casu de Socrate et Platone ita velociter [163va] inciperet Socrates moveri sicut Plato inciperet moveri et e contra.
Et quando arguitur quod non, quia Socrates non immediate post hoc movebitur ita velociter sicut Plato incipit moveri, huic dicitur negando istam tamquam repugnantem. Sequitur enim quod Socrates movebitur ita velociter sicut ipse incipit moveri, et etiam sicut Plato incipit moveri, et tamen in nullo instanti movebitur Socrates ita velociter sicut Plato incipit moveri, sicut nec in aliquo instanti movebitur ipse ita velociter sicut ipsemet incipit moveri. Et ad aliam formam, quando arguitur quod Socrates immediate post illud instans movebitur tardius quam Plato incipit moveri, et tardius quam immediate post illud instans movebitur Plato; ergo Socrates non ita velociter incipit moveri sicut Plato incipit moveri, negatur consequentia.
Ideo conceditur quod Socrates iam incipit ita velociter moveri sicut ipse incipit moveri, et etiam sicut Plato incipit moveri, et tamen Socrates incipit moveri tardius quam Plato incipiat moveri, sed Socrates non tardius incipit moveri quam Plato incipiat moveri, et hoc ut iste terminus ‘tardius’ determinat hoc verbum ‘incipit’, et non hoc verbum ‘moveri’.
Unde non sequitur ‘non tardius movetur Socrates quam Plato incipiat moveri, et immediate post instans quod est praesens tardius movebitur Socrates quam Plato incipiat moveri; ergo tardius incipit Socrates moveri quam Plato incipiat moveri’. Consequens enim illud implicat unam negativam una cum illa affirmativa. Sequitur enim ‘tardius incipit Socrates moveri quam Plato incipit moveri; ergo tam Socrates quam Plato incipit moveri, et non ita velociter incipit Socrates moveri sicut incipit Plato’, et hoc est falsum et contra illum casum; ideo non valet illa consequentia prius facta, cum antecedens illud stet cum aliquo possibili cui tamen repugnat consequens illius consequentiae.
Si tamen quaeratur qualiter possit illa propositio exponi ‘tardius incipit Socrates moveri quam incipiat Plato moveri’, huic dicitur quod illa propositio est satis plana nec indiget expositione. Si tamen quaereretur omnino quae esset expositio, potest dici quod potest exponi sic ‘tam Socrates quam Plato incipit moveri, et tamen non velocius nec ita velociter incipit Socrates moveri sicut Plato incipit moveri; ergo tardius incipit Socrates moveri quam Plato incipit moveri’.
Et si dicatur quod ibidem non exponitur hoc verbum ‘incipit’ per positionem de praesenti et remotionem de preaterito nec per remotionem de praesenti et positionem de futuro; ergo ista tota propositio non debet sic exponi, huic dicitur quod non valet ista consequentia.
Et causa est quia in ista propositione determinat illud adverbium ‘tardius’ hoc verbum ‘incipit’, et ideo ad hoc quod illa tota propositio breviter et intelligibiliter exponatur, requiritur quod continue maneat hoc verbum ‘incipit’ inexpositum quantum ad huius expositionem; ubi tamen ille terminus ‘tardius’ vel ‘velocius’ determinet hoc verbum ‘moveri’, bene poterit illa propositio sic exponi, sicut solent communiter huius[modi] propositiones exponi, sed quia non sic est in proposito; ideo et cetera.
Ad aliam formam, quando arguitur in argumento principali quod per totam secundam medietatem totius horae E aeque velociter remittet motum suum sicut in eadem secunda medietate eiusdem horae intendet aliqua pars secundae medietatis illius AB lineae motum suum, et sic pars illius secundae medietatis intendet ab aliquo gradu ad gradum duplum, et alia ad fradum centuplum, et alia ad millesimum gradum, et sic in infinitum; ergo prima medietas ipsius AB lineae remittet motum suum ab aliquo gradu ad gradum subduplum et ad subquadruplum, et sic in infinitum, huic dicitur negando consequentiam de forma.
Et similiter antecedens est repugnans in casu posito: quia, sicut argutum est, ista prima medietas non movebitur in duplo tardius quam in medio instanti, verumtamen A punctus movetur aliquando in duplo tardius quam ipsum movebatur in medio instanti, et aliquando in quadruplo tardius, et sic in infinitum, sed tota medietas ipsius [163vb] continue movebitur aeque velociter sicut aliquis alius punctus, sed punctus qui continue erit velocissime motus numquam movebitur in duplo tardius quam in instanti medio: quia sicut ille punctus in prima medietate illius horae intendet motum suum a gradu medio inter D gradum et quietem, ita in secunda medietate remittet idem punctus motum suum a D gradu usque ad illum gradum medium exclusive; et ideo prima medietas in nullo instanti illius horae movetur in duplo tardius quam in medio instanti movebitur eadem; et ideo in casu isto repugnat quod ita velociter remittet ipsa continue motum suum sicut intendet aliqua pars secundae medietatis motum suum in secunda medietate illius horae, quia sicut tangitur ibidem in infinitum velocius aliqua pars secundae medietatis intendet motum suum in secunda medietate illius horae quam intendet vel remittet aliqua motum suum in prima medietate eiusdem horae, quia aliqua acquiret aliquam partem totius latitudinis inter D gradum et quietem in aliqua parte temporis et aliqua alia aequalem partem et maiorem in duplo minori tempore, et sic in infinitum, sicut satis patet intuenti casum.
Ponatur enim quod quilibet punctus alicuius partis proportionalis sequentis secundam partem proportionalem sic continue intendat motum suum quousque idem punctus moveatur D gradu, et quod in fine cuiuscumque partis proportionalis post secundam partem proportionalem totius horae moveatur idem punctus in duplo velocius quam ipsum movebatur in principio eiusdem partis proportionalis, et quod ita cito sicut aliquis acquisiverit D gradum quod ille incipiat remittere motum suum continue aeque velociter sicut idem punctus intendit motum suum versus D gradum.
Ex quo manifeste sequitur quod cum aliquis illorum punctorum distaverit in principio totius horae per aliquem gradum, et aliquis per subduplum, et sic in infinitum, et quod continue per totam horam per aliquem gradum distabit aliquis, et per subduplum distabit aliquis punctus, et sic in infinitum; ergo cum quilibet punctus illius medietatis citra B gradum acquiret D gradum, sequitur quod in aliqua parte temporis acquiret aliquis punctus aliquam partem illius latitudinis et in duplo minori tempore acquiret aliquis alius punctus aequalem partem latitudinis eiusdem, et aliquis in subduplo tempore aequalem partem latitudinis eisudem, et aliquis in subquadruplo tempore aequalem partem latitudinis, et sic deinceps; et ideo conceditur tamquam sequens ex casu illo quod in infinitum velocius intendet aliquis punctus secundae medietatis motum suum quam intendet aliquis punctus primae medietatis motum suum, et quod continue per totam secundam medietatem totius E horae movebitur aliquis punctus illius secundae medietatis totius AB lineae in centuplo et in millecuplo tardius quam punctus medius totius AB lineae, et tamen quilibet punctus illius secundae medietatis in secunda medietate illius horae movebitur D gradu velocitatis, conceditur tamen quod in infinitum velocius rarefiet aliqua pars secundae medietatis AB lineae quam rarefiet aliqua pars primae medietatis, et tamen quacumque velocitate qua rarefiet aliqua pars secundae medietatis ipsa vel maiori velocitate rarefiet aliqua pars primae medietatis: quia numquam maiori velocitate D gradu rarefiet aliqua pars totius AB lineae, et quaelibet pars illius rarefiet D gradu velocitatis.
Unde sicut ista stant simul, scilicet quod in infinitum velocius intendet aliqua pars secundae medietatis motum suum quam intendet aliqua pars primae medietatis motum suum, et tamen non velocius movebitur aliqua pars secundae medietatis quam aliqua pars primae medietatis, ita ista stant simul quod in infinitum velocius rarefiet aliqua pars secundae medietatis quam aliqua pars primae, et tamen nulla velocitate rarefiet aliqua pars secundae medietatis quin eadem vel aequali [164ra] rarefiet aliqua pars primae medietatis. Sicut enim minor pars intendet motum suum velocius et velocius, ita velocius et velocius rarefiet; ideo et cetera.
Et quando arguitur quod in infinitum velocius intendet aliqua pars secundae medietatis motum suum quam aliqua pars primae medietatis, vel in infinitum velocius rarefiet aliqua pars secundae quam aliqua primae, et omnis intensio motus localis est motus localis, sicut rarefactio est motus localis; ergo infinita velocitate movebitur aliqua pars secundae medietatis, huic dicitur negando consequentiam. Unde idem gradus velocitatis continue manens uniformis velocitatis potest esse et est aliquando maior rarefactio et velocior rarefactio seu intensio, et aliquando erit in centuplo tardior rarefactio seu intensio. Unde notum est quod non sequitur ‘hoc mobile rarefit velocius quam illud mobile sive illud mobile velocius intendet motum suum quam illud; ergo hoc mobile velocius movetur, quocumque demonstrato’. Non enim valet ista consequentia; ideo et cetera.
Et per hoc dicitur ad ultimam formam, quando arguitur in illo argumento principali quod tota AB linea non rarefiet per totam C horam, huic dicitur, sicut in argumenti principali, quod illud repugnat casui multipliciter, sicut ibidem erat ostensum.
Et quando arguitur quod sic, quia continue post instans medium condensabitur maior pars secundum quamlibet sui partem de tota [A]B linea quam tunc rarefiet de ipsa, et aeque velociter condensabitur ista pars maior sicut tunc rarefiet ipsa pars minor; ergo tunc non maiorabitur tota AB linea; ergo nec rarefieret, huic dicitur concedendo totum praeter minorem, ut puta quod continue aeque velociter condensabitur talis pars sicut rarefiet alia; immo dicitur quod aliquando in duplo tardius condensabitur pars maior quam rarefiet minor tunc, et aliquando in quadruplo minus, et sic in infinitum.
Et quando dicitur quod non, quia numquam rarefiet aliqua pars velocius quam D gradu, et eodem gradu continue condensabitur talis pars condensata; ergo numquam velocius rarefiet pars minor quam condensabitur pars maior, huic dicitur quod ista maior est imperfecta, haec scilicet ‘numquam rarefiet aliqua pars velocius quam D gradu’. Potest enim ista propositio sic intelligi, scilicet quod numquam rarefiet aliqua pars velocius quam rarefiet alia D gradu vel numquam rarefiet aliqua pars velocius quam D gradus est velox.
Primo modo accipiendo illam maiorem, dicitur concedendo ipsam et ultimam consequentiam negando: quia, sicut dictum est, per eundem gradum continue manentem uniformem rarefiet aliqua pars in aliqua proportione, et alia in duplo velocius, et alia in quadruplo velocius, et alia in centuplo velocius sicut secundum eundem D gradum acquiret aliquis punctus velocius motus, et aliquis in duplo velocius, et sic in infinitum, et consimiliter respectu rarefactionis; ideo et cetera.